(O cicloide). O caminho gamma(t)=(t-sent, 1-cos t), t >= 0, descreve a posição de um ponto em um círculo rolante de raio 1. O círculo está no plano x y e rola ao longo do eixo x com velocidade constante, isto é, seu centro está se movendo para a direita ao longo da linha y=1 com uma velocidade constante de 1 radiano por unidade de tempo. O ponto gamma(t) traça uma curva C conhecida como cicloide. Calcule a velocidade e o comprimento do arco de C para t in[0,2 pi].

Passo 1

Dado o cicloide gamma(t)=(t-sin t,,1-cos t) para tin[0,2pi], nosso objetivo é calcular a velocidade |gamma'(t)| e o comprimento de arco L=integral0^2pi|gamma'(t)|,dt. Vamos usar derivadas de curvas paramétricas e integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente. Temos
gamma'(t)=(1-cos t,,sin t)

Passo 3

A velocidade é a norma de gamma'(t). Usando identidade trigonométrica:
|gamma'(t)|=raiz(1-cos t)^2+(sin t)^2=raiz2-2cos t=2sinl(tfrac t2r),
pois 1-cos t=2sin^2(tfrac t2) e em [0,2pi] temos sin(tfrac t2)>=0.

Passo 4

O comprimento de arco é
L=integral0^2pi|gamma'(t)|,dt=integral0^2pi2sinl(tfrac t2r),dt
Com a substituição u=tfrac t2, dt=2,du, limites de 0 a pi, obtemos:
L=4integral0^pisin u,du=4l[-cos ur]0^pi=4(2)=8

Resposta

Velocidade: |gamma'(t)|=2sinl(tfrac t2r). Comprimento de arco em [0,2pi]: L=8.

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