(O cicloide). O caminho
, descreve a posição de um ponto em um círculo rolante de raio 1. O círculo está no plano
e rola ao longo do eixo
com velocidade constante, isto é, seu centro está se movendo para a direita ao longo da linha
com uma velocidade constante de 1 radiano por unidade de tempo. O ponto
traça uma curva C conhecida como cicloide. Calcule a velocidade e o comprimento do arco de C para
.
Passo 1
Dado o cicloide
para
, nosso objetivo é calcular a velocidade
e o comprimento de arco
. Vamos usar derivadas de curvas paramétricas e integrais de funções trigonométricas.
Passo 2
Calculamos a derivada componente a componente. Temos
Passo 3
A velocidade é a norma de
. Usando identidade trigonométrica:
pois
e em
temos
.
Passo 4
O comprimento de arco é
Com a substituição
,
, limites de 0 a
, obtemos:
Resposta
Velocidade:
. Comprimento de arco em
:
.