Determine se os limites abaixo existem, justificando:
lim (x, y) (4,1) y raizx-2 y-raizx+24-x+x raizy-4 raizy

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite de uma função de duas variáveis em ‘(x,y)’ aproximando-se de ‘(4,1)’. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e fatoração de expressões que têm raízes quadradas. Vamos usar a ideia de introduzir a=raizx e b=raizy para facilitar a fatoração.

Passo 2

Fazendo a substituição a=raizx e b=raizy, temos x=a^2 e y=b^2. Então o numerador fica
yraizx-2y-raizx+2 = b^2a-2b^2 -a+2 = a(b^2-1) -2(b^2-1) = (b^2-1)(a-2)

Passo 3

O denominador fica
4-x+xraizy-4raizy =4 - a^2 +a^2b -4b =-(a^2-4)+b(a^2-4) =(a^2-4)(b-1)

Passo 4

Agora podemos fatorar mais: b^2-1=(b-1)(b+1) e a^2-4=(a-2)(a+2). Então a expressão original se torna
(b^2-1)(a-2)(a^2-4)(b-1) =(b-1)(b+1)(a-2)(a-2)(a+2)(b-1) =b+1a+2,

Passo 5

válido sempre que aneq2 e bneq1, ou seja, fora do ponto de interesse mas suficiente para o limite. Como agora temos uma expressão contínua em a e b), podemos simplesmente avaliar em a=2 e b=1:
lim(x,y)to(4,1)yraizx-2y-raizx+24-x+xraizy-4raizy =1+12+2=24=12

Resposta

tfrac12

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