Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
(29.2)
.
(29.2)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
Isso envolve aplicar regras de derivada de funções de duas variáveis: regra do produto e regra da cadeia. Primeiro vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem
e
, e então derivar novamente para obter
.
Passo 2
Para calcular
, aplicamos a regra do produto em
e, em seguida, a regra da cadeia. De forma análoga tratamos
. Temos:
Calculando cada termo:
Portanto:
Passo 3
Para calcular
, idem: aplicamos produto em
e cadeia em cada termo. Escrevendo:
Calculando:
Logo:
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Partindo de
aplicamos novamente produto e cadeia:
Fazendo as contas:
Portanto:
Passo 5
Para achar
, derivamos
em relação a
. Partindo de
calculamos
Os termos dão:
Assim:
Passo 6
Por simetria (e continuidade das derivadas mistas),
.
Passo 7
Finalmente, derivamos
em relação a
para obter
. Partindo de
temos
Aqui:
Logo:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: