Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
(29.2) z=x cos (x y)-y sen(x y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
z = xcos(xy) - ysin(xy)
Isso envolve aplicar regras de derivada de funções de duas variáveis: regra do produto e regra da cadeia. Primeiro vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem zx e zy, e então derivar novamente para obter zxx, zxy, zyx, zyy.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x, aplicamos a regra do produto em xcos(xy) e, em seguida, a regra da cadeia. De forma análoga tratamos -ysin(xy). Temos:
partial zpartial x = partialpartial xl(xcos(xy)r) - partialpartial xl(ysin(xy)r)
Calculando cada termo:
partialpartial x(xcos(xy)) = cos(xy) - x ysin(xy),
partialpartial x(ysin(xy)) = ycdotcos(xy)cdot y = y^2cos(xy)
Portanto:
zx = cos(xy) - x ysin(xy) - y^2cos(xy) = (1 - y^2)cos(xy) - x ysin(xy)

Passo 3

Para calcular partial zpartial y, idem: aplicamos produto em -ysin(xy) e cadeia em cada termo. Escrevendo:
partial zpartial y = partialpartial yl(xcos(xy)r) - partialpartial yl(ysin(xy)r)
Calculando:
partialpartial y(xcos(xy)) = -x^2sin(xy),
partialpartial y(ysin(xy)) = sin(xy) + x ycos(xy)
Logo:
zy = -x^2sin(xy) - l(sin(xy) + x ycos(xy)r) = -(x^2+1)sin(xy) - x ycos(xy)

Passo 4

Agora derivamos zx em relação a x para obter zxx. Partindo de
zx = (1 - y^2)cos(xy) - x ysin(xy),
aplicamos novamente produto e cadeia:
zxx = partialpartial xl((1 - y^2)cos(xy)r) - partialpartial xl(x ysin(xy)r)
Fazendo as contas:
partialpartial xl((1 - y^2)cos(xy)r) = -(1 - y^2)ysin(xy),
partialpartial x(x ysin(xy)) = ysin(xy) + x y^2cos(xy)
Portanto:
zxx = -y(1 - y^2)sin(xy) - l(ysin(xy) + x y^2cos(xy)r) = -y(2 - y^2)sin(xy) - x y^2cos(xy)

Passo 5

Para achar zxy, derivamos zx em relação a y. Partindo de
zx = (1 - y^2)cos(xy) - x ysin(xy),
calculamos
zxy = partialpartial y((1 - y^2)cos(xy)) - partialpartial y(x ysin(xy))
Os termos dão:
partialpartial y((1 - y^2)cos(xy)) = -2ycos(xy) - x(1 - y^2)sin(xy),
partialpartial y(x ysin(xy)) = xsin(xy) + x^2 ycos(xy)
Assim:
zxy = -2ycos(xy) - x(1 - y^2)sin(xy) - l(xsin(xy) + x^2 ycos(xy)r) = -x(2 - y^2)sin(xy) - y(2 + x^2)cos(xy)

Passo 6

Por simetria (e continuidade das derivadas mistas), zyx = zxy.

Passo 7

Finalmente, derivamos zy em relação a y para obter zyy. Partindo de
zy = -(x^2+1)sin(xy) - x ycos(xy),
temos
zyy = - (x^2+1)xcos(xy) - partialpartial y(x ycos(xy))
Aqui:
partialpartial y(x ycos(xy)) = xcos(xy) - x^2 ysin(xy)
Logo:
zyy = -x(x^2+1)cos(xy) - l(xcos(xy) - x^2 ysin(xy)r) = -x(x^2+2)cos(xy) + x^2 ysin(xy)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
zxx = -y(2 - y^2)sin(xy) - x y^2cos(xy),
zxy = zyx = -x(2 - y^2)sin(xy) - y(2 + x^2)cos(xy),
zyy = -x(x^2+2)cos(xy) + x^2 ysin(xy)

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