O elipsóide
pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
onde
e
.
2a) Verifique que r parametriza o elipsóide dado.
2b) Esboçe o gráfico do elipsóide para
e
.
2c) Como você escolheria a, b, c para se obter uma esfera?
2a) Verifique que r parametriza o elipsóide dado.
2b) Esboçe o gráfico do elipsóide para
2c) Como você escolheria a, b, c para se obter uma esfera?
Passo 1
Estamos diante de um elipsóide definido pela equação
e da parametrização
O conteúdo é parametrização de superfícies em
e vamos precisar usar a definição de parametrização: ao substituir
,
e
na equação do elipsóide, devemos obter sempre 1.
Passo 2
Definimos
Para verificar a parametrização, vamos calcular
Passo 3
Substituindo as expressões, temos
Logo,
satisfaz a equação do elipsóide e realmente o parametriza.
Passo 4
Para esboçar o elipsóide com
,
e
, desenhe os eixos
e marque os pontos extremos de cada semi-eixo:
,
e
. Em seguida, faça uma superfície lisa unindo esses contornos, obtendo uma forma oval alongada em cada direção indicada.
Passo 5
Para obter uma esfera a partir desse modelo, todos os semi-eixos devem ser iguais. Ou seja, basta escolher
para algum raio
. Assim a equação
é exatamente a esfera de raio
.
Resposta
2a) A parametrização foi verificada pois ao substituir x,y,z obtemos 1. 2b) Para a=3,b=4,c=2 temos um elipsóide de semi-eixos 3,4,2. 2c) Uma esfera surge se a=b=c (isto é, todos os semi-eixos iguais a um mesmo raio R).