O elipsóide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1 pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
r(u, v)=a cos u cos v i+b cos u sen v j+c sen u k
onde i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).
2a) Verifique que r parametriza o elipsóide dado.
2b) Esboçe o gráfico do elipsóide para a=3, b=4 e c=2.
2c) Como você escolheria a, b, c para se obter uma esfera?

Passo 1

Estamos diante de um elipsóide definido pela equação x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 e da parametrização
r(u,v) = acos u cos v,i + bcos u sin v,j + csin u,k
O conteúdo é parametrização de superfícies em R^3 e vamos precisar usar a definição de parametrização: ao substituir x(u,v), y(u,v) e z(u,v) na equação do elipsóide, devemos obter sempre 1.

Passo 2

Definimos
x = acos u cos v, y = bcos u sin v, z = csin u
Para verificar a parametrização, vamos calcular
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2

Passo 3

Substituindo as expressões, temos
a^2cos^2 u cos^2 va^2 + b^2cos^2 u sin^2 vb^2 + c^2sin^2 uc^2 = cos^2 u (cos^2 v + sin^2 v) + sin^2 u = cos^2 u + sin^2 u = 1
Logo, r(u,v) satisfaz a equação do elipsóide e realmente o parametriza.

Passo 4

Para esboçar o elipsóide com a=3, b=4 e c=2, desenhe os eixos x,y,z e marque os pontos extremos de cada semi-eixo:
(±3,0,0), (0,±4,0) e (0,0,±2). Em seguida, faça uma superfície lisa unindo esses contornos, obtendo uma forma oval alongada em cada direção indicada.

Passo 5

Para obter uma esfera a partir desse modelo, todos os semi-eixos devem ser iguais. Ou seja, basta escolher
a = b = c = R
para algum raio R>0. Assim a equação
x^2R^2 + y^2R^2 + z^2R^2 = 1
é exatamente a esfera de raio R.

Resposta

2a) A parametrização foi verificada pois ao substituir x,y,z obtemos 1. 2b) Para a=3,b=4,c=2 temos um elipsóide de semi-eixos 3,4,2. 2c) Uma esfera surge se a=b=c (isto é, todos os semi-eixos iguais a um mesmo raio R).

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