Verificar a identidade proposta para cada função dada:
(26.4)
.
(26.4)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ z = \frac{x - y}{x y} $ e queremos verificar se a identidade $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = -z $ é verdadeira. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e substituir na identidade para confirmar se ela se sustenta.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função $ z $ é dada por:
Podemos simplificar isso como:
Agora, derivando em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Usando a forma simplificada:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, vamos substituir na identidade proposta:
Substituindo os valores das derivadas:
Passo 5
Agora, vamos comparar o resultado com o lado direito da identidade, que é $ -z $. Lembrando que $ z = \frac{x - y}{x y} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x} $:
Vemos que:
Resposta
A identidade $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = -z $ é verdadeira para a função dada $ z = \frac{x - y}{x y} $.