Verificar a identidade proposta para cada função dada:
(26.4) z=x-yx y ; x partial zpartial x+y partial zpartial y=-z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ z = \frac{x - y}{x y} $ e queremos verificar se a identidade $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = -z $ é verdadeira. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e substituir na identidade para confirmar se ela se sustenta.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função $ z $ é dada por:
z
Podemos simplificar isso como:
x
Agora, derivando em relação a $ x $:
partial zpartial x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Usando a forma simplificada:
z
Derivando em relação a $ y $:
y

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, vamos substituir na identidade proposta:
x partial zpartial x + y partial zpartial y
Substituindo os valores das derivadas:
x (1x^2) + y (-1y^2) = xx^2 - yy^2 = 1x - 1y

Passo 5

Agora, vamos comparar o resultado com o lado direito da identidade, que é $ -z $. Lembrando que $ z = \frac{x - y}{x y} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x} $:
-z
Vemos que:
z = x - yx y = 1y - 1x

Resposta

A identidade $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = -z $ é verdadeira para a função dada $ z = \frac{x - y}{x y} $.

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