Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f.
f(x, y)=e^2 x^2+y

Passo 1

A função dada é f(x,y)=e^2x^2+y. O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem e vamos precisar usar a regra da cadeia para diferenciarmos a exponencial em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Para fx, derivamos e^2x^2+y em relação a x:
partial fpartial x=e^2x^2+ycdotddx(2x^2+y)=4x,e^2x^2+y
De forma análoga, para fy temos:
partial fpartial y=e^2x^2+ycdotddy(2x^2+y)=e^2x^2+y

Passo 3

Agora achamos fxx derivando fx=4x,e^2x^2+y em relação a x. Usamos produto e regra da cadeia:
partial^2 fpartial x^2=4,e^2x^2+y+4xcdotl(4x,e^2x^2+yr)=(4+16x^2)e^2x^2+y

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada mista fxy derivando fx=4x,e^2x^2+y em relação a y. Só há produto com constante em x e exponencial em y:
partial^2 fpartial ypartial x=4x,e^2x^2+y
Por simetria de Schwarz, fyx=fxy.

Passo 5

Por fim, calculamos fyy derivando fy=e^2x^2+y em relação a y:
partial^2 fpartial y^2=e^2x^2+y

Resposta

fxx=(16x^2+4)e^2x^2+y, fxy=4x,e^2x^2+y, fyy=e^2x^2+y.

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