Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f.
f(x, y)=arctg x y

Passo 1

A questão pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=arctan(xy). O conteúdo envolve derivadas parciais, especialmente a regra da cadeia para funções compostas e, quando necessário, regra do produto/quociente.

Passo 2

Definindo u=xy, podemos reescrever f(x,y)=arctan(u). Sabemos que dduarctan(u)=11+u^2 e que partial upartial x=y, partial upartial y=x. Assim:
fx = 11+u^2cdot y = y1+(xy)^2,
fy = 11+u^2cdot x = x1+(xy)^2

Passo 3

Para obter fxx, derivamos fx=y1+(xy)^2 em relação a x, tratando y como constante e aplicando a regra da cadeia ao denominador:
fxx = ycdot(-1)(1+(xy)^2)^-2cdot2x y^2 = -2x y^3l(1+(xy)^2r)^2

Passo 4

Para fxy, derivamos fx=y1+(xy)^2 em relação a y. Usando regra do quociente ou produto:
fxy = (1+(xy)^2) - ycdot2x y^2(1+(xy)^2)^2 = 1 - x^2y^2l(1+(xy)^2r)^2 Pelo teorema de Clairaut, fyx=fxy.

Passo 5

Para fyy, derivamos fy=x1+(xy)^2 em relação a y, tratando x como constante e aplicando a regra da cadeia:
fyy = xcdot(-1)(1+(xy)^2)^-2cdot2x^2y = -2x^3 yl(1+(xy)^2r)^2

Resposta

fxx(x,y) = -2x y^3(1+x^2y^2)^2, fxy(x,y) = 1 - x^2y^2(1+x^2y^2)^2, fyy(x,y) = -2x^3y(1+x^2y^2)^2

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