A função
é analítica em todo o plano complexo. Encontre o valor de
.
a) 1
a) 1
Passo 1
A questão dá a função real e imaginária de f(z)=u(x,y)+i v(x,y) e pede que fique analítica em todo o plano, ou seja, que satisfaça as equações de Cauchy–Riemann. Para isso, vamos precisar conhecer u(x,y), v(x,y) e aplicar ∂u/∂x=∂v/∂y e ∂u/∂y=−∂v/∂x.
Passo 2
Identificamos
u(x,y)=a(x2−y2)−2y e v(x,y)=6xy+bx. Calculamos as derivadas parciais:
u(x,y)=a(x2−y2)−2y e v(x,y)=6xy+bx. Calculamos as derivadas parciais:
u_x=2ax,
v_y=6x.
v_y=6x.
Pela primeira equação de Cauchy–Riemann (u_x=v_y) temos 2ax=6x para todo x, logo a=3.
Passo 3
Calculamos agora
u_y=−2ay−2,
v_x=6y+b.
u_y=−2ay−2,
v_x=6y+b.
Pela segunda equação de Cauchy–Riemann (u_y=−v_x) aparece
−2ay−2=−(6y+b).
Substituindo a=3 obtém-se −6y−2=−6y−b, de onde b=2.
−2ay−2=−(6y+b).
Substituindo a=3 obtém-se −6y−2=−6y−b, de onde b=2.
Resposta
5