Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f.
se
f(x, y, z)=sen(3 x+y z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y,z)=\operatorname{sen}(3x+yz). O conteúdo envolve derivada de funções compostas e regra da cadeia aplicada a funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia, temos:
fx=partialpartial xsen(3x+yz)=cos(3x+yz)cdot3=3cos(3x+yz),
fy=partialpartial ysen(3x+yz)=cos(3x+yz)cdot z=zcos(3x+yz),
fz=partialpartial zsen(3x+yz)=cos(3x+yz)cdot y=ycos(3x+yz)

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas parciais que envolvem x, derivando as expressões acima em relação a x, y e z:
fxx=partialpartial x(3cos(3x+yz))=3cdot(-sin(3x+yz))cdot3=-9sin(3x+yz),
fxy=partialpartial y(3cos(3x+yz))=3cdot(-sin(3x+yz))cdot z=-3zsin(3x+yz),
fxz=partialpartial z(3cos(3x+yz))=3cdot(-sin(3x+yz))cdot y=-3ysin(3x+yz)

Passo 4

Por fim, calculamos as segundas derivadas parciais restantes que vêm de f_y e f_z:
fyy=partialpartial y(zcos(3x+yz))=zcdot(-sin(3x+yz))cdot z=-z^2sin(3x+yz),
fyz=partialpartial z(zcos(3x+yz))=cos(3x+yz)+zcdot(-sin(3x+yz))cdot y=cos(3x+yz)-yzsin(3x+yz),
fzz=partialpartial z(ycos(3x+yz))=ycdot(-sin(3x+yz))cdot y=-y^2sin(3x+yz)

Resposta

f_{xx}=-9\sin(3x+yz), f_{xy}=-3z\sin(3x+yz), f_{xz}=-3y\sin(3x+yz), f_{yy}=-z^2\sin(3x+yz), f_{yz}=\cos(3x+yz)-yz\sin(3x+yz), f_{zz}=-y^2\sin(3x+yz)

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