O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado pela função V(x, y, z)=x^2-3 x y+x y z.
Em qual direção o potencial muda mais rapidamente no ponto P=(3,4,5)?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico na forma V(x,y,z)=x^2-3xy+xyz e pede em qual direção, no ponto P=(3,4,5), o potencial muda mais rapidamente. Isso é um problema de gradiente de uma função escalar.

Passo 2

Para encontrar a direção de máxima variação, usamos o gradiente nabla V=l(partial V/partial x,;partial V/partial y,;partial V/partial zr). Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial x=2x-3y+yz,
partial Vpartial y=-3x+xz,
partial Vpartial z=xy

Passo 3

Agora avaliamos cada componente em P=(3,4,5):
partial Vpartial x(3,4,5)=2cdot3-3cdot4+4cdot5=6-12+20=14,
partial Vpartial y(3,4,5)=-3cdot3+3cdot5=-9+15=6,
partial Vpartial z(3,4,5)=3cdot4=12
Logo nabla V(3,4,5)=(14,6,12).

Passo 4

A direção de máxima variação é a direção do vetor gradiente. Se quisermos o vetor unitário, dividimos pelo módulo:
| (14,6,12)|=raiz14^2+6^2+12^2=raiz376=2raiz94,
portanto o vetor unitário fica
(14,6,12)2raiz94=(7,3,6)raiz94

Resposta

A direção de máxima variação em P=(3,4,5) é dada pelo vetor unitário tfrac(7,3,6)raiz94.

Exercícios relacionados