Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=x y^{4}-2 x^{2} y^{3}+4 x^{2}-3 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x\,y^{4}-2\,x^{2}y^{3}+4\,x^{2}-3\,y.
O conteúdo envolve derivadas parciais: primeiro vamos obter as primeiras derivadas parciais f_x e f_y usando a regra do poder e tratando a outra variável como constante; depois derivamos novamente para obter f_{xx}, f_{xy}, f_{yx} e f_{yy}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Tratando y como constante ao derivar em relação a x,
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{4}\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\,x^{2}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4\,x^{2}\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3\,y\bigr) =y^{4}-4\,x\,y^{3}+8\,x.
Tratando x como constante ao derivar em relação a y,
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{4}\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,x^{2}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4\,x^{2}\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3\,y\bigr) =4\,x\,y^{3}-6\,x^{2}y^{2}-3.

Passo 3

Calcular \displaystyle f_{xx} e \displaystyle f_{xy}.
Derivando f_x=y^{4}-4xy^{3}+8x em relação a x,
f_{xx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{4}-4\,x\,y^{3}+8\,x\bigr) =0-4\,y^{3}+8 =8-4\,y^{3}.
Derivando f_x em relação a y,
f_{xy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{4}-4\,x\,y^{3}+8\,x\bigr) =4\,y^{3}-12\,x\,y^{2}+0 =4\,y^{3}-12\,x\,y^{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle f_{yx} e \displaystyle f_{yy}, confirmando a igualdade mista.
Derivando f_y=4xy^{3}-6x^{2}y^{2}-3 em relação a x,
f_{yx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4\,x\,y^{3}-6\,x^{2}y^{2}-3\bigr) =4\,y^{3}-12\,x\,y^{2}
que coincide com f_{xy}, conforme o teorema de Clairaut.
Derivando f_y em relação a y,
f_{yy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4\,x\,y^{3}-6\,x^{2}y^{2}-3\bigr) =12\,x\,y^{2}-12\,x^{2}\,y.

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=8-4\,y^{3},
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=4\,y^{3}-12\,x\,y^{2},
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=4\,y^{3}-12\,x\,y^{2},
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=12\,x\,y^{2}-12\,x^{2}\,y.

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