Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(r, s)=\sqrt{r^{2}+s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(r,s)=\sqrt{r^{2}+s^{2}}\,.
O conteúdo envolvido é diferenciação em variáveis múltiplas, usando regra da cadeia e regra do produto. Primeiro vamos achar as derivadas de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as segundas.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Usamos
f(r,s)=(r^{2}+s^{2})^{\tfrac12}
e a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial r} =\frac12\,(r^{2}+s^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2r =\frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}
\frac{\partial f}{\partial s} =\frac12\,(r^{2}+s^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2s =\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
  1. f_{rr}=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{r}{(r^{2}+s^{2})^{1/2}}\bigr).
    Aplicando regra do produto e cadeia:
f_{rr} =(r^{2}+s^{2})^{-\tfrac12} +r\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(r^{2}+s^{2})^{-\tfrac32}\cdot 2r =\frac{1}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} -\frac{r^{2}}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}} =\frac{s^{2}}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}}\,.
  1. f_{rs}=\frac{\partial}{\partial s}\bigl(\frac{r}{(r^{2}+s^{2})^{1/2}}\bigr).
f_{rs} =r\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(r^{2}+s^{2})^{-\tfrac32}\cdot 2s =-\frac{rs}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}}\,.
  1. f_{ss}=\frac{\partial}{\partial s}\bigl(\frac{s}{(r^{2}+s^{2})^{1/2}}\bigr).
    Analogamente ao caso de f_{rr}:
f_{ss} =\frac{1}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} -\frac{s^{2}}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}} =\frac{r^{2}}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}}\,.

Resposta

f_{rr}=\frac{s^{2}}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}}, \quad f_{rs}=f_{sr}=-\frac{rs}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}}, \quad f_{ss}=\frac{r^{2}}{(r^{2}+s^{2})^{3/2}}.

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