Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y, z)=3 x^{2} z+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y,z) = 3x^{2}z + x\,y^{2}.
O conteúdo é derivação parcial em várias variáveis. Para obter as derivadas de segunda ordem, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivamos cada uma dessas em relação a cada variável de interesse.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem, lembrando que, ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}z) + \frac{\partial}{\partial x}(x\,y^{2}) = 6xz + y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}z) + \frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{2}) = 0 + 2xy = 2xy,
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3x^{2}z) + \frac{\partial}{\partial z}(x\,y^{2}) = 3x^{2} + 0 = 3x^{2}.

Passo 3

Derivar \frac{\partial f}{\partial x}=6xz + y^{2} em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}(6xz + y^{2}) = 6z.

Passo 4

Derivar \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y e z:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(6xz + y^{2}) = 2y,
\frac{\partial^{2}f}{\partial z\,\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(6xz + y^{2}) = 6x.

Passo 5

Derivar \frac{\partial f}{\partial y}=2xy em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x.

Passo 6

Derivar \frac{\partial f}{\partial y}=2xy em relação a z:
\frac{\partial^{2}f}{\partial z\,\partial y} = \frac{\partial}{\partial z}(2xy) = 0.

Passo 7

Derivar \frac{\partial f}{\partial z}=3x^{2} em relação a z:
\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} = \frac{\partial}{\partial z}(3x^{2}) = 0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6z,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2y,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=6x,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2x,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=0,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=0.

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