Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
f(x, y)=x^2 arctan (yx).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^2,arctan!gl(yxgr),
que é um exercício de Cálculo Multivariável. Para isso vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem usando regra do produto e regra da cadeia, e em seguida derivar novamente em x e y.

Passo 2

Calcular fx e fy.
Aplicando regra do produto em f(x,y)=u(x,y),v(x,y) com u=x^2 e v=arctan(y/x):
ux=2x e
vx = 11+(y/x)^2,partialpartial xl(yxr) = 11+(y/x)^2,l(-yx^2r) = -yx^2+y^2
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fx = 2x,arctan!l(tfracyxr) + x^2!l(-yx^2+y^2r) = 2x,arctan!l(tfracyxr) - x^2,yx^2+y^2
Agora fy: como uy=0 e
vy = 11+(y/x)^2,partialpartial yl(yxr) = 11+(y/x)^2,1x = xx^2+y^2,
temos
fy = x^2,vy = x^3x^2+y^2

Passo 3

Calcular fxx=partialpartial x(fx).
Escreva fx= A(x,y) + B(x,y) com
A=2x,arctan!l(tfracyxr), B=-x^2,yx^2+y^2
Então
Ax = 2,arctan!l(tfracyxr) +2x!l(-yx^2+y^2r) =2,arctan!l(tfracyxr) -2x,yx^2+y^2,
e, tratando y como constante,
Bx =-y;partialpartial x!gl(x^2x^2+y^2gr) =-y,2x,y^2(x^2+y^2)^2 =-2x,y^3(x^2+y^2)^2
Somando,
fxx =2,arctan!l(tfracyxr) -2x,yx^2+y^2 -2x,y^3(x^2+y^2)^2

Passo 4

Calcular fxy=partialpartial y(fx).
De fx=2x,arctan(y/x)-x^2,yx^2+y^2 temos, para A=2x,arctan(y/x) e C=-x^2,yx^2+y^2:
Ay = 2x,xx^2+y^2 =2x^2x^2+y^2,
Cy =-x^2;partialpartial y!l(tfracyx^2+y^2r) =-x^2,x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 =-x^4(x^2+y^2)^2 +x^2,y^2(x^2+y^2)^2
Somando e reduzindo frações:
fxy =2x^2x^2+y^2 -x^4 - x^2y^2(x^2+y^2)^2 =x^2,(x^2+3y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Calcular fyy=partialpartial y(fy).
Como fy=x^3x^2+y^2 e x é constante,
fyy =x^3;partialpartial yl(1x^2+y^2r) =x^3l(-2y(x^2+y^2)^2r) =-2x^3,y(x^2+y^2)^2

Resposta

fxx =2,arctan!l(tfracyxr) -2x,yx^2+y^2 -2x,y^3(x^2+y^2)^2,
fxy=fyx =x^2,(x^2+3y^2)(x^2+y^2)^2,
fyy =-2x^3,y(x^2+y^2)^2

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