Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
f(x, y, z)=x^3 y+e^x y z;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y,z)=x^3y + e^xyz
Isso envolve primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois diferenciar cada uma delas novamente em relação a x, y e z conforme necessário, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia para o termo exponencial.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y,z)=partialpartial xl(x^3yr)+partialpartial xl(e^xyzr) =3x^2y + yz,e^xyz

Passo 3

fy(x,y,z)=partialpartial yl(x^3yr)+partialpartial yl(e^xyzr) =x^3 + xz,e^xyz

Passo 4

fz(x,y,z)=partialpartial zl(x^3yr)+partialpartial zl(e^xyzr) =0 + xy,e^xyz

Passo 5

A partir de fx(x,y,z)=3x^2y + yz,e^xyz:
fxx(x,y,z) =partialpartial xl(3x^2yr) +partialpartial xl(yz,e^xyzr) =6xy + y^2z^2e^xyz,
fxy(x,y,z) =partialpartial yl(3x^2yr) +partialpartial yl(yz,e^xyzr) =3x^2 + z,e^xyz + xyz^2 e^xyz,
fxz(x,y,z) =partialpartial zl(3x^2yr) +partialpartial zl(yz,e^xyzr) =0 + y,e^xyz + xy^2z,e^xyz

Passo 6

A partir de fy(x,y,z)=x^3 + xz,e^xyz:
fyy(x,y,z) =partialpartial yl(xz,e^xyzr) =x^2z^2e^xyz,
fyz(x,y,z) =partialpartial zl(xz,e^xyzr) =x,e^xyz + x^2yz,e^xyz

Passo 7

A partir de fz(x,y,z)=xy,e^xyz:
fzz(x,y,z) =partialpartial zl(xy,e^xyzr) =x^2y^2e^xyz

Resposta

fxx(x,y,z)=6xy + y^2z^2e^xyz,
fxy(x,y,z)=3x^2 + z,e^xyz + xyz^2e^xyz,
fxz(x,y,z)=y,e^xyz + xy^2z,e^xyz,
fyy(x,y,z)=x^2z^2e^xyz,
fyz(x,y,z)=x,e^xyz + x^2yz,e^xyz,
fzz(x,y,z)=x^2y^2e^xyz

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