Seja f(x, y)=u(x, y) e^a x+b y, em que u é uma função arbitrária satisfazendo partial^2 upartial x partial y=0. Encontre as constantes a e b tais que:
partial^2 fpartial x partial y-partial fpartial x-partial fpartial y+f=0

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=u(x,y),e^ax+by,
onde u satisfaz
partial^2 upartial xpartial y=0,
e pede para achar a e b tais que
partial^2 fpartial xpartial y-partial fpartial x-partial fpartial y+f=0
Vamos calcular as derivadas de f e então usar a condição em u.

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras:
fx=partialpartial xl(u,e^ax+byr) =(ux+a,u),e^ax+by,
fy=partialpartial yl(u,e^ax+byr) =(uy+b,u),e^ax+by

Passo 3

Agora a derivada mista:
fxy =partialpartial yl((ux+a,u)e^ax+byr) =l(uxy+a,uy+b,ux+a b,ur),e^ax+by
Substituindo na equação dada:
fxy-fx-fy+f =e^ax+byl[uxy +(b-1)ux+(a-1)uy+(ab-a-b+1)ur]

Passo 4

Como partial^2u/(partial xpartial y)=uxy=0 e u é arbitrária (isto é, ux, uy e u independentes), cada coeficiente no colchete deve se anular:
b-1=0, a-1=0, ab-a-b+1=0
As duas primeiras já dão a=1 e b=1, e nelas o terceiro fica automaticamente satisfeito.

Resposta

As constantes são
a=1, b=1

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