Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y, z)=xraizx^2+y^2+z^2,(x, y, z) neq(0,0,0)

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=xraizx^2+y^2+z^2
para (x,y,z)neq(0,0,0).
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto (ou quociente) junto com a regra da cadeia, pois temos x multiplicado por (x^2+y^2+z^2)^-1/2.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x é conveniente escrever
r = raizx^2+y^2+z^2,
de modo que
f = x,r^-1
Aplicando regra do produto e cadeia:
partial fpartial x = 1cdot r^-1 + xcdot(-1),r^-2,partial rpartial x
Como
partial rpartial x = partialpartial x(x^2+y^2+z^2)^1/2 = 12,(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot2x = xr,
então
partial fpartial x = r^-1 - x,r^-2,xr = 1r - x^2r^3 = r^2-x^2r^3 = y^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^3/2

Passo 3

Para partial fpartial y o x é tratado como constante e só derivamos r^-1:
partial fpartial y = xcdot(-1),r^-2,partial rpartial y = -x,r^-2,yr = -x,yr^3 = -x,y(x^2+y^2+z^2)^3/2

Passo 4

De modo análogo, para partial fpartial z temos
partial fpartial z = xcdot(-1),r^-2,partial rpartial z = -x,r^-2,zr = -x,zr^3 = -x,z(x^2+y^2+z^2)^3/2

Resposta

partial fpartial x = y^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^3/2
partial fpartial y = -x,y(x^2+y^2+z^2)^3/2
partial fpartial z = -x,z(x^2+y^2+z^2)^3/2

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