Calcule a diferencial das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=\sin (2 x y),(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sin(2xy) e pede a diferencial de f no ponto (0,0).
Informações relevantes:
  • f está definida em pares (x,y).
  • O ponto onde queremos a diferencial é (x_0,y_0)=(0,0).
  • A tarefa é calcular o mapa linear d f_{(0,0)} que é a melhor aproximação linear de f perto de (0,0).

Passo 2

O que é a diferencial de uma função de duas variáveis? Vou explicar de um jeito direto e tranquilo.
  • A diferencial de f no ponto (x_0,y_0) é um mapa linear que dá a variação aproximada de f quando as coordenadas mudam por pequenos incrementos (h,k).
  • Se f é diferenciável em (x_0,y_0), usa-se a fórmula
d f_{(x_0,y_0)}(h,k)=f_x(x_0,y_0)\,h+f_y(x_0,y_0)\,k,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
  • Aqui: h é a pequena variação em x e k é a pequena variação em y. O resultado é um número (a variação linear aproximada de f).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sin(2xy). Vou fazer devagar e explicando cada passo.
  • Para f_x (derivada parcial em relação a x) tratamos y como constante e usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=\sin(u(x)) com u(x)=2xy, então f_x=\cos(u)\cdot u_x. Aqui u_x=2y. Logo,
f_x(x,y)=2y\cos(2xy).
  • Para f_y (derivada parcial em relação a y) tratamos x como constante; pela mesma ideia u_y=2x. Assim,
f_y(x,y)=2x\cos(2xy).

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (0,0). Vou substituir x=0 e y=0 nas fórmulas encontradas.
  • Como \cos(2\cdot0\cdot0)=\cos(0)=1, temos
f_x(0,0)=2\cdot 0\cdot 1=0,
f_y(0,0)=2\cdot 0\cdot 1=0.

Passo 5

Escrever a diferencial usando os valores das derivadas parciais. Aplicando a fórmula do Passo 2 com x_0=0, y_0=0:
d f_{(0,0)}(h,k)=f_x(0,0)\,h+f_y(0,0)\,k=0\cdot h+0\cdot k=0.
Ou seja, o mapa linear que é a diferencial envia qualquer vetor de incrementos (h,k) para 0. Em termos de Jacobiana, a matriz linha do diferencial (o gradiente) em (0,0) é (0\;0).
Comentário didático rápido e motivador: isso pode parecer estranho — a função não é identicamente zero — mas faz sentido: para pequenos x,y temos \sin(2xy)\approx 2xy, que é um termo de ordem dois (produto xy), e não contém termos lineares em x ou em y separadamente. Por isso a melhor aproximação linear (o que a diferencial dá) é zero. Bom trabalho por chegar até aqui — já fez a parte mais chata!

Resposta

d f_{(0,0)}(h,k)=0

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