Calcule a diferencial das funções nos pontos pedidos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a diferencial de
no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
está definida em pares . - O ponto onde queremos a diferencial é
. - A tarefa é calcular o mapa linear
que é a melhor aproximação linear de perto de .
Passo 2
O que é a diferencial de uma função de duas variáveis? Vou explicar de um jeito direto e tranquilo.
- A diferencial de
no ponto é um mapa linear que dá a variação aproximada de quando as coordenadas mudam por pequenos incrementos . - Se
é diferenciável em , usa-se a fórmula
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
- Aqui:
é a pequena variação em e é a pequena variação em . O resultado é um número (a variação linear aproximada de ).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou fazer devagar e explicando cada passo.
- Para
(derivada parcial em relação a ) tratamos como constante e usamos a regra da cadeia: se com , então . Aqui . Logo,
- Para
(derivada parcial em relação a ) tratamos como constante; pela mesma ideia . Assim,
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. Vou substituir
e
nas fórmulas encontradas.
- Como
, temos
Passo 5
Escrever a diferencial usando os valores das derivadas parciais. Aplicando a fórmula do Passo 2 com
,
:
Ou seja, o mapa linear que é a diferencial envia qualquer vetor de incrementos
para
. Em termos de Jacobiana, a matriz linha do diferencial (o gradiente) em
é
.
Comentário didático rápido e motivador: isso pode parecer estranho — a função não é identicamente zero — mas faz sentido: para pequenos
temos
, que é um termo de ordem dois (produto
), e não contém termos lineares em
ou em
separadamente. Por isso a melhor aproximação linear (o que a diferencial dá) é zero. Bom trabalho por chegar até aqui — já fez a parte mais chata!