8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
w=\cos (x+y+z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
w(x,y,z)=\cos(x+y+z).
O conteúdo usado será derivada parcial e regra da cadeia, pois w é composta pela função \cos e pela soma x+y+z.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x,y,z)=x+y+z,
de modo que
w(x,y,z)=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr).
Isso facilita o uso da regra da cadeia.

Passo 3

Usando a regra da cadeia para derivadas parciais de primeira ordem, temos
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{d}{du}\bigl(\cos u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =-\sin(u)\cdot1 =-\sin(x+y+z),
e, de forma análoga,
\frac{\partial w}{\partial y}=-\sin(x+y+z), \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=-\sin(x+y+z).

Passo 4

Agora derivamos novamente cada parcial usando regra da cadeia:
\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\sin(x+y+z)\Bigr) =-\cos(x+y+z)\cdot1 =-\cos(x+y+z),
e de modo idêntico para as demais derivadas puras. Para as mistas, por exemplo
\frac{\partial^2 w}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\sin(x+y+z)\Bigr) =-\cos(x+y+z)\cdot1 =-\cos(x+y+z),
valendo a mesma expressão para qualquer ordem, pois \cos é C^2 e as derivadas comutam.

Resposta

As segundas derivadas parciais são todas iguais a -\cos(x+y+z):
\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} =\frac{\partial^2 w}{\partial z^2} =-\cos(x+y+z),
\frac{\partial^2 w}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial^2 w}{\partial x\,\partial z} =\frac{\partial^2 w}{\partial y\,\partial z} =-\cos(x+y+z).

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