8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo usado será derivada parcial e regra da cadeia, pois
é composta pela função
e pela soma
.
Passo 2
Definimos a função intermediária
de modo que
Isso facilita o uso da regra da cadeia.
Passo 3
Usando a regra da cadeia para derivadas parciais de primeira ordem, temos
e, de forma análoga,
Passo 4
Agora derivamos novamente cada parcial usando regra da cadeia:
e de modo idêntico para as demais derivadas puras. Para as mistas, por exemplo
valendo a mesma expressão para qualquer ordem, pois
é
e as derivadas comutam.
Resposta
As segundas derivadas parciais são todas iguais a
: