8.7: Calcular as derivadas parciais:
\mathrm{F}(x, y, z, w)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
F(x,y,z,w)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\bigr).
O conteúdo usado é derivada parcial e regra da cadeia, lembrando que
\frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u}.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} aplicamos a regra da cadeia: seja
u(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2},
então
\frac{\partial F}{\partial x} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} seguimos o mesmo raciocínio:
\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}\cdot 2y =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial F}{\partial z} por simetria:
\frac{\partial F}{\partial z} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.

Passo 5

Finalmente, para \displaystyle \frac{\partial F}{\partial w}:
\frac{\partial F}{\partial w} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial w} =\frac{2w}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.

Resposta

\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}},
\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}, \quad \frac{\partial F}{\partial w}=\frac{2w}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.

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