8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
w=x^{3} y^{2} z+2(x+y+z)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
w = x^{3}y^{2}z + 2(x + y + z)
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem. Para isso, primeiro vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem w_x, w_y e w_z e depois derivar cada uma delas em relação a x, y e z.

Passo 2

Derivando em relação a x, y e z, obtemos as primeiras derivadas parciais:
w_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}z + 2x + 2y + 2z\bigr) = 3x^{2}y^{2}z + 2,
w_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}z + 2x + 2y + 2z\bigr) = 2x^{3}yz + 2,
w_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}y^{2}z + 2x + 2y + 2z\bigr) = x^{3}y^{2} + 2.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem não mistas, ou seja, derivamos cada w_x, w_y e w_z em relação à mesma variável:
w_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}z + 2\bigr) = 6x\,y^{2}z,
w_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}yz + 2\bigr) = 2x^{3}z,
w_{zz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}y^{2} + 2\bigr) = 0.

Passo 4

Por fim, obtemos as derivadas parciais de segunda ordem mistas, derivando w_x, w_y e w_z em relação a outra variável:
w_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}z + 2\bigr) = 6x^{2}y\,z, \quad w_{xz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^{2}y^{2}z + 2\bigr) = 3x^{2}y^{2},
w_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}yz + 2\bigr) = 6x^{2}y\,z, \quad w_{yz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2x^{3}yz + 2\bigr) = 2x^{3}y,
w_{zx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2} + 2\bigr) = 3x^{2}y^{2}, \quad w_{zy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2} + 2\bigr) = 2x^{3}y.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são: w_{xx} = 6x\,y^{2}z w_{yy} = 2x^{3}z w_{zz} = 0 w_{xy} = w_{yx} = 6x^{2}y\,z w_{xz} = w_{zx} = 3x^{2}y^{2} w_{yz} = w_{zy} = 2x^{3}y

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