8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
z=x \cos (x y)-y \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
z = x\cos(xy) \;-\; y\sin(xy).
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, usando as regras de produto e cadeia, além das derivadas de \sin e \cos.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja u = xy.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\cos(u)\bigr] - \frac{\partial}{\partial x}\bigl[y\sin(u)\bigr].
Aplicando produto e cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}[x\cos(u)] = \cos(u) \;+\; x\bigl(-\sin(u)\bigr)\frac{\partial u}{\partial x} = \cos(xy) \;-\; xy\,\sin(xy),
\frac{\partial}{\partial x}[y\sin(u)] = y\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} = y\cos(xy)\cdot y = y^2\cos(xy).
Logo,
z_x = \cos(xy) \;-\; xy\,\sin(xy)\;-\;y^2\cos(xy) =(1 - y^2)\cos(xy)\;-\;xy\,\sin(xy).
Derivando em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[x\cos(u)\bigr] - \frac{\partial}{\partial y}\bigl[y\sin(u)\bigr].
Calculando:
\frac{\partial}{\partial y}[x\cos(u)] = x\bigl(-\sin(u)\bigr)\frac{\partial u}{\partial y} = -x^2\sin(xy),
\frac{\partial}{\partial y}[y\sin(u)] = \sin(u) + y\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} = \sin(xy) + xy\,\cos(xy).
Logo,
z_y = -\,x^2\sin(xy)\;-\;\bigl[\sin(xy)+xy\cos(xy)\bigr] = -(x^2+1)\sin(xy)\;-\;xy\cos(xy).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(z_x).
Como
z_x = (1 - y^2)\cos(xy)\;-\;xy\,\sin(xy),
usamos produto e cadeia em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[(1 - y^2)\cos(xy)\bigr] = (1-y^2)\bigl(-\sin(xy)\bigr)\,y = -y(1-y^2)\sin(xy),
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[xy\,\sin(xy)\bigr] = y\,\sin(xy) + xy\,\cos(xy)\,y = y\sin(xy) + xy^2\cos(xy).
Portanto,
z_{xx} = -y(1-y^2)\sin(xy)\;-\;y\sin(xy)\;-\;xy^2\cos(xy) = (y^3 - 2y)\sin(xy)\;-\;x y^2\cos(xy).

Passo 4

Calculamos \displaystyle z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_x).
Partindo de
z_x = (1-y^2)\cos(xy)\;-\;xy\,\sin(xy),
derivamos cada termo em y:
\frac{\partial}{\partial y}[(1-y^2)\cos(xy)] = -2y\cos(xy) \;+\;(1-y^2)\bigl(-\sin(xy)\bigr)\,x,
\frac{\partial}{\partial y}[xy\,\sin(xy)] = x\sin(xy) + xy\,\cos(xy)\,x.
Somando e lembrando do sinal negativo no segundo termo, obtemos
z_{xy} = -2y\cos(xy)\;-\;x(1-y^2)\sin(xy)\;-\;x\sin(xy)\;-\;x^2y\cos(xy) = x(y^2 - 2)\sin(xy)\;-\;y(x^2 + 2)\cos(xy).

Passo 5

Finalmente, \displaystyle z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_y).
Como
z_y = -(x^2+1)\sin(xy)\;-\;xy\cos(xy),
temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[-(x^2+1)\sin(xy)\bigr] = -(x^2+1)\cos(xy)\,x,
\frac{\partial}{\partial y}[-\,xy\cos(xy)] = -x\cos(xy) + xy\,\sin(xy)\,x.
Logo,
z_{yy} = -x(x^2+1)\cos(xy)\;-\;x\cos(xy)\;+\;x^2y\sin(xy) = x^2y\sin(xy)\;-\;x(x^2+2)\cos(xy).

Passo 6

Pela igualdade das derivadas mistas contínuas, temos ainda
z_{yx} = z_{xy}.

Resposta

z_{xx} = (y^3 - 2y)\,\sin(xy)\;-\;x\,y^2\,\cos(xy),
z_{xy} = x\,(y^2 - 2)\,\sin(xy)\;-\;y\,(x^2 + 2)\,\cos(xy),
z_{yx} = z_{xy},
z_{yy} = x^2\,y\,\sin(xy)\;-\;x\,(x^2 + 2)\,\cos(xy).

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