8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, usando as regras de produto e cadeia, além das derivadas de
e
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Aplicando produto e cadeia:
Logo,
Derivando em relação a
:
Calculando:
Logo,
Passo 3
Agora calculamos
.
Como
Como
usamos produto e cadeia em cada termo:
Portanto,
Passo 4
Calculamos
.
Partindo de
Partindo de
derivamos cada termo em
:
Somando e lembrando do sinal negativo no segundo termo, obtemos
Passo 5
Finalmente,
.
Como
Como
temos
Logo,
Passo 6
Pela igualdade das derivadas mistas contínuas, temos ainda