8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
.
O conteúdo envolvido é aplicação da regra do quociente para derivadas parciais, seguida de nova diferenciação dessas expressões.
O conteúdo envolvido é aplicação da regra do quociente para derivadas parciais, seguida de nova diferenciação dessas expressões.
Passo 2
Para usar a regra do quociente, definimos
As derivadas parciais de primeira ordem são
Calculamos
Passo 3
Substituindo em
:
Passo 4
Substituindo em
:
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
(novamente regra do quociente). O resultado simplificado é
Passo 6
Para
, derivamos
em relação a
. Após simplificar, obtemos
Passo 7
Para
, derivamos
em relação a
. O resultado final é