8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
w=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função
w(x,y)=\frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^3}
e pede as derivadas parciais de segunda ordem w_{xx}, w_{xy} e w_{yy}.
O conteúdo envolvido é aplicação da regra do quociente para derivadas parciais, seguida de nova diferenciação dessas expressões.

Passo 2

Para usar a regra do quociente, definimos
N(x,y)=x^3 - y^3, \quad D(x,y)=x^2 + y^3.
As derivadas parciais de primeira ordem são
w_x = \frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2}, \quad w_y = \frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^2}.
Calculamos
N_x = 3x^2,\quad D_x = 2x, \quad N_y = -3y^2,\quad D_y = 3y^2.

Passo 3

Substituindo em w_x:
w_x = \frac{3x^2\,(x^2+y^3)\;-\;2x\,(x^3 - y^3)}{(x^2+y^3)^2} = \frac{x^4 \;+\;y^3(3x^2+2x)}{(x^2+y^3)^2}.

Passo 4

Substituindo em w_y:
w_y = \frac{-3y^2\,(x^2+y^3)\;-\;3y^2\,(x^3 - y^3)}{(x^2+y^3)^2} = \frac{-3x^2\,y^2\,(x+1)}{(x^2+y^3)^2}.

Passo 5

Para w_{xx}, derivamos w_x em relação a x (novamente regra do quociente). O resultado simplificado é
w_{xx} = \frac{2\bigl(-x^3y^3 \;-\;3x^2y^3 \;+\;3x\,y^6 \;+\;y^6\bigr)}{(x^2+y^3)^3}.

Passo 6

Para w_{xy}, derivamos w_x em relação a y. Após simplificar, obtemos
w_{xy} = \frac{3\,x\,y^2\bigl(x^2(x+2)\;-\;y^3(3x+2)\bigr)}{(x^2+y^3)^2}.

Passo 7

Para w_{yy}, derivamos w_y em relação a y. O resultado final é
w_{yy} = \frac{6\,x^2\,(x+1)\,y\,(2y^3 - x^2)}{(x^2+y^3)^3}.

Resposta

w_{xx}=\displaystyle \frac{2\bigl(-x^3y^3 -3x^2y^3 +3x\,y^6 +y^6\bigr)}{(x^2+y^3)^3} w_{xy}=\displaystyle \frac{3\,x\,y^2\bigl(x^2(x+2)-y^3(3x+2)\bigr)}{(x^2+y^3)^2} w_{yy}=\displaystyle \frac{6\,x^2\,(x+1)\,y\,(2y^3 - x^2)}{(x^2+y^3)^3}

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