8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
w=e^{x y^{2} z^{3}}

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
w = e^{x y^{2} z^{3}}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (para funções compostas) e, quando aparecer produto de coisas que dependem da variável, a regra do produto. Vamos primeiro achar as derivadas de primeira ordem e depois usar isso para computar as de segunda ordem.

Passo 2

Defina a função interna
u(x,y,z) = x\,y^{2}\,z^{3},
de modo que w = e^{u}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x y^{2} z^{3}}\,(y^{2} z^{3}).
Analogamente,
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x y^{2} z^{3}}\,(2 x y z^{3}),
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial z} = e^{x y^{2} z^{3}}\,(3 x y^{2} z^{2}).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle w_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(w_{x}\bigr).
Como
w_{x} = e^{x y^{2} z^{3}}\,y^{2} z^{3},
tratamos y^{2}z^{3} como constante e aplicamos regra da cadeia de novo:
w_{xx} = y^{2} z^{3}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y^{2} z^{3}}\bigr) = y^{2} z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\,(y^{2} z^{3}) = e^{x y^{2} z^{3}}\,y^{4} z^{6}.

Passo 4

Agora \displaystyle w_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(w_{x}\bigr)
com w_{x}=e^{x y^{2} z^{3}}\,y^{2} z^{3}. Aqui usamos produto de y^{2}z^{3} por e^{u}:
\frac{\partial}{\partial y}(y^{2} z^{3}) = 2y\,z^{3}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(e^{u}) = e^{u}\,u_{y} = e^{x y^{2} z^{3}}\,(2 x y z^{3}).
Logo
w_{xy} = 2y\,z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}} + y^{2} z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\,(2 x y z^{3}) = 2\,y\,z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + x y^{2} z^{3}\bigr).

Passo 5

Para \displaystyle w_{xz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(w_{x}\bigr)
usamos produto de y^{2}z^{3} por e^{u} de modo semelhante:
\frac{\partial}{\partial z}(y^{2} z^{3}) = 3y^{2} z^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial z}(e^{u}) = e^{u}\,u_{z} = e^{x y^{2} z^{3}}\,(3 x y^{2} z^{2}).
Assim
w_{xz} = 3y^{2} z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}} + y^{2} z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\,(3 x y^{2} z^{2}) = 3\,y^{2} z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + x y^{2} z^{3}\bigr).

Passo 6

Para \displaystyle w_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(w_{y}\bigr)
lembre que w_{y}=2x y z^{3}e^{u}. Aplicando produto em 2x z^{3}y e e^{u}:
\frac{\partial}{\partial y}(2x z^{3}y) = 2x z^{3}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(e^{u}) = e^{u}\,(2 x y z^{3}).
Portanto
w_{yy} = 2x z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}} + 2x y z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\,(2 x y z^{3}) = 2x z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + 2 x y^{2} z^{3}\bigr).

Passo 7

Para \displaystyle w_{yz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(w_{y}\bigr)
usamos produto em 2x y z^{3} e e^{u}:
\frac{\partial}{\partial z}(2x y z^{3}) = 6x y z^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial z}(e^{u}) = e^{u}\,(3 x y^{2} z^{2}).
Logo
w_{yz} = 6x y z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}} + 2x y z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\,(3 x y^{2} z^{2}) = 6x y z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + x y^{2} z^{3}\bigr).

Passo 8

Finalmente, \displaystyle w_{zz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(w_{z}\bigr)
com w_{z}=3x y^{2} z^{2}e^{u}. Produto em 3x y^{2}z^{2} e e^{u}:
\frac{\partial}{\partial z}(3x y^{2} z^{2}) = 6x y^{2} z, \quad \frac{\partial}{\partial z}(e^{u}) = e^{u}\,(3 x y^{2} z^{2}).
Portanto
w_{zz} = 6x y^{2} z\,e^{x y^{2} z^{3}} + 3x y^{2} z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}}\,(3 x y^{2} z^{2}) = 6x y^{2} z\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + \tfrac{3}{2}x y^{2} z^{3}\bigr).

Resposta

w_{xx} = e^{x y^{2} z^{3}}\,y^{4} z^{6}. w_{xy} = 2\,y\,z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + x y^{2} z^{3}\bigr). w_{xz} = 3\,y^{2} z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + x y^{2} z^{3}\bigr). w_{yy} = 2x z^{3}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + 2 x y^{2} z^{3}\bigr). w_{yz} = 6x y z^{2}\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + x y^{2} z^{3}\bigr). w_{zz} = 6x y^{2} z\,e^{x y^{2} z^{3}}\bigl(1 + \tfrac{3}{2}x y^{2} z^{3}\bigr).

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