8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (para funções compostas) e, quando aparecer produto de coisas que dependem da variável, a regra do produto. Vamos primeiro achar as derivadas de primeira ordem e depois usar isso para computar as de segunda ordem.
Passo 2
Defina a função interna
de modo que
. Pela regra da cadeia,
Analogamente,
Passo 3
Agora calculamos
Como
Como
tratamos
como constante e aplicamos regra da cadeia de novo:
Passo 4
Agora
com . Aqui usamos produto de
por
:
com
Logo
Passo 5
Para
usamos produto de por
de modo semelhante:
usamos produto de
Assim
Passo 6
Para
lembre que . Aplicando produto em
e
:
lembre que
Portanto
Passo 7
Para
usamos produto em e
:
usamos produto em
Logo
Passo 8
Finalmente,
com . Produto em
e
:
com
Portanto