8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
w=\log _{4}\left(x^{2}+y z+x y z\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função de três variáveis
w = \log_{4}\bigl(x^{2} + y z + x y z\bigr).
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial, usando a regra da cadeia e, em seguida, regra do quociente para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Definimos
A(x,y,z) = x^{2} + y z + x y z,
de modo que
w = \frac{\ln A}{\ln 4}.

Passo 3

Primeiro calculamos as derivadas de A:
A_{x} = 2x + y z, \quad A_{y} = z(1 + x), \quad A_{z} = y(1 + x).
Aplicando a regra da cadeia, as primeiras derivadas de w são
w_{x} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{A_{x}}{A} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{2x + y z}{A},
w_{y} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{A_{y}}{A} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{z(1 + x)}{A},
w_{z} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{A_{z}}{A} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{y(1 + x)}{A}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente para obter as segundas derivadas:
Para \partial^2 w/\partial x^2:
w_{xx} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{(2)\,A - (2x + yz)\,A_{x}}{A^{2}} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{2A - (2x + yz)^{2}}{A^{2}}.
Para \partial^2 w/\partial y^2 e \partial^2 w/\partial z^2, como A_{yy}=0 e A_{zz}=0,
w_{yy} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{0\cdot A - [z(1+x)]^{2}}{A^{2}} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{z^{2}(1+x)^{2}}{A^{2}},
w_{zz} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{0\cdot A - [y(1+x)]^{2}}{A^{2}} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{y^{2}(1+x)^{2}}{A^{2}}.
Para as mistas w_{xy}, w_{xz} e w_{yz}, derivamos w_x em relação a y e a z, e w_y em relação a z:
w_{xy} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{z\,A - (2x+yz)\,z(1+x)}{A^{2}} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{xz(x+2)}{A^{2}},
w_{xz} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{y\,A - (2x+yz)\,y(1+x)}{A^{2}} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{xy(x+2)}{A^{2}},
w_{yz} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{(1+x)\,A - z(1+x)\,y(1+x)}{A^{2}} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{x^{2}(1+x)}{A^{2}}.

Resposta

Onde A = x^{2} + yz + xyz, as derivadas de segunda ordem são
\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{2A - (2x + yz)^{2}}{A^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{z^{2}(1+x)^{2}}{A^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}w}{\partial z^{2}} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{y^{2}(1+x)^{2}}{A^{2}},
\frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial y} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{xz(x+2)}{A^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial z} = -\frac{1}{\ln4}\,\frac{xy(x+2)}{A^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}w}{\partial y\partial z} = \frac{1}{\ln4}\,\frac{x^{2}(1+x)}{A^{2}}.

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