8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função de três variáveis
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial, usando a regra da cadeia e, em seguida, regra do quociente para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Definimos
de modo que
Passo 3
Primeiro calculamos as derivadas de
:
Aplicando a regra da cadeia, as primeiras derivadas de
são
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente para obter as segundas derivadas:
Para
:
Para
e
, como
e
,
Para as mistas
,
e
, derivamos
em relação a
e a
, e
em relação a
:
Resposta
Onde
, as derivadas de segunda ordem são