8.5: Calcular a derivada parcial indicada:
\mathrm{F}_{y}(0,1) \operatorname{com~} \mathrm{F}(x, y)=e^{x y} \operatorname{sec} (x / y)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a y de
F(x,y)=e^{xy}\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)
no ponto (0,1). Vamos usar as regras de derivada parcial, produto e cadeia.

Passo 2

Escrevendo
F(x,y)=e^{xy}\;\cdot\;\operatorname{sec}\bigl(u\bigr), \quad u=\tfrac{x}{y},
aplicamos a regra do produto:
F_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(u\bigr) +e^{xy}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr].

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}.
  2. Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sec}(u) =\operatorname{sec}(u)\tan(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} =\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\bigl(-\tfrac{x}{y^2}\bigr).
Logo,
F_{y} =x\,e^{xy}\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) -e^{xy}\,\frac{x}{y^2}\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(0,1). Note que todo termo está multiplicado por x, e em x=0 temos
F_{y}(0,1)=0.

Resposta

F_{y}(0,1)=0

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