Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
z=x cos (x y)-y sen(x y)

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função z(x,y)=xcos(xy)-ysin(xy). O conteúdo envolve regras do produto e da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para obter zx, derivamos termo a termo:
  • Para xcos(xy): partialpartial x[xcos(xy)] =1cdotcos(xy)+xcdot(-sin(xy),y) =cos(xy)-xysin(xy)
  • Para -ysin(xy): partialpartial x[-ysin(xy)] =-ycdot(cos(xy),y) =-y^2cos(xy)
Somando, temos
zx=cos(xy)-xysin(xy)-y^2cos(xy)

Passo 3

Para obter zy, derivamos termo a termo:
  • Para xcos(xy): partialpartial y[xcos(xy)] =xcdot(-sin(xy),x) =-x^2sin(xy)
  • Para -ysin(xy): partialpartial y[-ysin(xy)] =-1cdotsin(xy)-ycdot(cos(xy),x) =-sin(xy)-xycos(xy)
Somando, temos
zy=-sin(xy)(x^2+1)-xycos(xy)

Passo 4

Para obter zxx=partialx(zx), derivamos cada parcela de
zx=cos(xy)-xysin(xy)-y^2cos(xy):
  • partialpartial x[cos(xy)] = -sin(xy),y.
  • partialpartial x[-xysin(xy)] = -ysin(xy) - xycos(xy),y.
  • partialpartial x[-y^2cos(xy)] = -y^2(-sin(xy),y) = y^3sin(xy).
    Somando,
zxx=-2ysin(xy)-xy^2cos(xy)+y^3sin(xy)

Passo 5

Para obter zxy=partialy(zx), derivamos cada parcela de zx:
  • partialpartial y[cos(xy)] = -sin(xy),x.
  • partialpartial y[-xysin(xy)] = -xsin(xy) - x^2ycos(xy).
  • partialpartial y[-y^2cos(xy)] = -2ycos(xy) + x y^2sin(xy).
    Somando,
zxy=-2xsin(xy)-(x^2y+2y)cos(xy)+xy^2sin(xy)
Pela simetria de Schwarz, zyx=zxy.

Passo 6

Para obter zyy=partialy(zy), derivamos cada parcela de
zy=-(x^2+1)sin(xy)-xycos(xy):
  • partialpartial y[ -(x^2+1)sin(xy)] = -(x^2+1)cos(xy),x.
  • partialpartial y[-xycos(xy)] = -xcos(xy) + x^2ysin(xy).
    Somando,
zyy= -x(x^2+1)cos(xy)-xcos(xy)+x^2ysin(xy) =-(x^3+2x)cos(xy)+x^2ysin(xy)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
zxx=-2ysin(xy)-xy^2cos(xy)+y^3sin(xy),
zxy=zyx=-2xsin(xy)-(x^2y+2y)cos(xy)+xy^2sin(xy),
zyy=-(x^3+2x)cos(xy)+x^2ysin(xy)

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