Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
j) y^prime prime+y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 com g(t)= t, & 0 <= t<1 1, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. A equação que temos é $ y’’ + y = g(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. A função $ g(t) $ é definida de forma diferente dependendo de $ t $: para $ 0 \leq t < 1 $, $ g(t) = t $, e para $ t \geq 1 $, $ g(t) = 1 $. Vamos precisar entender como aplicar as transformadas de Laplace em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a transformada de $ y $ é $ Y(s) $. Então, aplicando:
y''
Simplificando:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de $ g(t) $, que é uma função definida por partes. Podemos escrever $ g(t) $ usando a função de Heaviside $ u(t) $:
g(t)
A transformada de Laplace de $ t \cdot u(1 - t) $ é $ \frac{1 - e{-s}}{s2} $ e a transformada de $ u(t - 1) $ é $ \frac{e^{-s}}{s} $. Então, temos:
g(t)

Passo 4

Voltando à equação transformada:
(s^2 + 1) Y(s) - 1 = 1 - e^-ss^2 + e^-ss
Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão de $ Y(s) $:
Y(s)
Vamos dividir isso em partes que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 6

A transformada de $ \frac{1}{s^2 + 1} $ volta para $ \sin(t) $.
Para $ \frac{1 - e{-s}}{s2 (s^2 + 1)} $, podemos usar a propriedade de atraso (ou avanço) da transformada de Laplace, que nos leva a funções que começam em $ t = 1 $.
Já $ \frac{e^{-s}}{s (s^2 + 1)} $ também envolve um atraso devido ao termo $ e^{-s} $.

Passo 7

Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:
y(t) = sin(t) + u(t - 1) ( (t - 1) sin(t - 1) )

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = sin(t) + u(t - 1) cdot (t - 1) sin(t - 1)

Exercícios relacionados