Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. A equação que temos é $ y’’ + y = g(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. A função $ g(t) $ é definida de forma diferente dependendo de $ t $: para $ 0 \leq t < 1 $, $ g(t) = t $, e para $ t \geq 1 $, $ g(t) = 1 $. Vamos precisar entender como aplicar as transformadas de Laplace em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a transformada de $ y $ é $ Y(s) $. Então, aplicando:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de $ g(t) $, que é uma função definida por partes. Podemos escrever $ g(t) $ usando a função de Heaviside $ u(t) $:
A transformada de Laplace de $ t \cdot u(1 - t) $ é $ \frac{1 - e{-s}}{s2} $ e a transformada de $ u(t - 1) $ é $ \frac{e^{-s}}{s} $. Então, temos:
Passo 4
Voltando à equação transformada:
Vamos isolar $ Y(s) $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão de $ Y(s) $:
Vamos dividir isso em partes que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 6
A transformada de $ \frac{1}{s^2 + 1} $ volta para $ \sin(t) $.
Para $ \frac{1 - e{-s}}{s2 (s^2 + 1)} $, podemos usar a propriedade de atraso (ou avanço) da transformada de Laplace, que nos leva a funções que começam em $ t = 1 $.
Já $ \frac{e^{-s}}{s (s^2 + 1)} $ também envolve um atraso devido ao termo $ e^{-s} $.
Passo 7
Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: