Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
z=e^2 y sen x no ponto P0(pi / 6,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
z = e^2ysin x
e pede as derivadas parciais de segunda ordem no ponto P0l(tfracpi6,0r). Para isso, vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem fx e fy, depois as de segunda ordem fxx,fxy,fyy (e verificar que fxy=fyx), e por fim avaliar tudo em P0.

Passo 2

Trabalhando com f(x,y)=e^2ysin x:
– Derivada parcial em relação a x, tratando y como constante:
fx = partialpartial xl(e^2ysin xr) = e^2ycos x
– Derivada parcial em relação a y, tratando x como constante:
fy = partialpartial yl(e^2ysin xr) = 2e^2ysin x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
fxx=partialpartial xl(e^2ycos xr) = -,e^2ysin x
fxy=partialpartial yl(e^2ycos xr) = 2e^2ycos x
fyy=partialpartial yl(2e^2ysin xr) = 4e^2ysin x
fyx=partialpartial xl(2e^2ysin xr) = 2e^2ycos x, que coincide com fxy.

Passo 4

Avaliação em P0l(tfracpi6,0r):
e^2cdot0=1, sin!tfracpi6=tfrac12, cos!tfracpi6=tfracraiz32
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fxx(P0) = -,1cdottfrac12 = -tfrac12,
fxy(P0) = 2cdot1cdottfracraiz32 = raiz3,
fyx(P0) = raiz3,
fyy(P0) = 4cdot1cdottfrac12 = 2

Resposta

fxxl(tfracpi6,0r)=-tfrac12
fxyl(tfracpi6,0r)=raiz3
fyxl(tfracpi6,0r)=raiz3
fyyl(tfracpi6,0r)=2

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