9^circ ) Verifique se a função w=e^3 x+4 y cos 5 z é harmônica.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
w(x,y,z) = e^3x+4ycos5z
é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 + partial^2 wpartial z^2 = 0
Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de w em relação a x, y e z.

Passo 2

Calcular partial^2 wpartial x^2 e partial^2 wpartial y^2.
Primeiro, em relação a x:
partial wpartial x =3,e^3x+4ycos5z,
partial^2 wpartial x^2 =3cdot3,e^3x+4ycos5z =9,e^3x+4ycos5z
Agora, em relação a y:
partial wpartial y =4,e^3x+4ycos5z,
partial^2 wpartial y^2 =4cdot4,e^3x+4ycos5z =16,e^3x+4ycos5z

Passo 3

Calcular partial^2 wpartial z^2.
partial wpartial z =-5,e^3x+4ysin5z,
partial^2 wpartial z^2 =-5cdot5,e^3x+4ycos5z =-25,e^3x+4ycos5z

Passo 4

Somar as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
partial^2 wpartial x^2 +partial^2 wpartial y^2 +partial^2 wpartial z^2 =9,e^3x+4ycos5z +16,e^3x+4ycos5z -25,e^3x+4ycos5z =0
Como a soma é zero, concluímos que w satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função w=e^3x+4ycos5z é harmônica.

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