Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
Encontrar a área da superfície x^2-2 z=0 que está acima do triangulo definido pelas linhas x=raiz3, y=0 e y=x no plano xy

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície definida implicitamente por
x^2-2z=0
acima do triângulo no plano xy limitado por x=raiz3, y=0 e y=x.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de área de uma superfície z=f(x,y):
A=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2;dA

Passo 2

Reescrevendo a superfície de forma explícita, temos
z=f(x,y)=x^22

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=x, fy(x,y)=0
Logo, o integrando fica
raiz1+fx^2+fy^2 =raiz1+x^2+0 =raiz1+x^2

Passo 4

A região D no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (raiz3,0) e (raiz3,raiz3).
Em coordenadas retangulares, é
0<= x<= raiz3, 0<= y<= x

Passo 5

O integral de área fica
A =integral duplaDraiz1+x^2;dA =integralx=0^raiz3integraly=0^xraiz1+x^2;dy,dx
Como raiz1+x^2 não depende de y, primeiro integramos em y:
integraly=0^xraiz1+x^2;dy =x,raiz1+x^2
Portanto
A =integral0^raiz3x,raiz1+x^2;dx

Passo 6

Para calcular
integral0^raiz3xraiz1+x^2,dx
fazemos u=1+x^2, du=2x,dx, daí
integral xraiz1+x^2,dx =12integral raizu,du =12cdot23u^3/2 =13(1+x^2)^3/2
Logo, avaliando de 0 a raiz3:
A =[13(1+x^2)^3/2]0^raiz3 =13l(4^3/2-1^3/2r) =13(8-1) =73

Resposta

A=73

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