Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x 2 raizx-raiz2x^2-4

Passo 1

O enunciado pede
limxto2raizx-raiz2x^2-4.
O conteúdo é cálculo de limite que gera indeterminação do tipo 0/0 e a ferramenta que vamos usar é a racionalização do numerador, multiplicando pelo seu conjugado.

Passo 2

Ao tentar a substituição direta:
raiz2-raiz2=0 no numerador e 2^2-4=0 no denominador, temos uma forma indeterminada 0/0. Por isso precisamos manipular algebricamente a expressão antes de calcular o limite.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx+raiz2 e simplificamos:
raizx-raiz2x^2-4 =(raizx-raiz2)(raizx+raiz2)(x^2-4)(raizx+raiz2) =x-2(x-2)(x+2)(raizx+raiz2) =1(x+2)(raizx+raiz2)

Passo 4

Agora a expressão não é mais indeterminada e podemos tomar o limite diretamente:
limxto21(x+2)(raizx+raiz2) =1(2+2)l(raiz2+raiz2r) =14cdot2raiz2 =18raiz2

Resposta

18raiz2

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