Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: z=x^3 y-2 x^2 y^2+5 x y-2 x

Passo 1

A função dada é z(x,y)=x^3y-2x^2y^2+5xy-2x. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem ( zxx,zxy,zyy) e de terceira ordem ( zxxx,zxxy,zxyy,zyyy), usando as regras de derivação de potência e produto.

Passo 2

Vamos achar primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando em relação a x e a y:
zx=partialpartial x(x^3y)-partialpartial x(2x^2y^2)+partialpartial x(5xy)-partialpartial x(2x)
Usando potência e produto, obtemos:
zx=3x^2y-4xy^2+5y-2
De forma análoga, derivando em relação a y:
zy=partialpartial y(x^3y)-partialpartial y(2x^2y^2)+partialpartial y(5xy)
zy=x^3-4x^2y+5x

Passo 3

Com as primeiras derivadas em mãos, calculamos as de segunda ordem derivando zx e zy novamente:
Derivando zx em x e y:
zxx=partialpartial x(3x^2y-4xy^2+5y-2)=6xy-4y^2
zxy=partialpartial y(3x^2y-4xy^2+5y-2)=3x^2-8xy+5
Derivando zy em y:
zyy=partialpartial y(x^3-4x^2y+5x)=-4x^2

Passo 4

Por fim, para as derivadas de terceira ordem derivamos as segundas novamente:
zxxx=partialpartial x(6xy-4y^2)=6y
zxxy=partialpartial y(6xy-4y^2)=6x-8y
zxyy=partialpartial y(3x^2-8xy+5)=-8x
zyyy=partialpartial y(-4x^2)=0

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
z_{xx}=6xy-4y^2, z_{xy}=3x^2-8xy+5, z_{yy}=-4x^2.
As derivadas parciais de terceira ordem são:
z_{xxx}=6y, z_{xxy}=6x-8y, z_{xyy}=-8x, z_{yyy}=0.

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