Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
A função dada é
. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem (
) e de terceira ordem (
), usando as regras de derivação de potência e produto.
Passo 2
Vamos achar primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando em relação a
e a
:
Usando potência e produto, obtemos:
De forma análoga, derivando em relação a
:
Passo 3
Com as primeiras derivadas em mãos, calculamos as de segunda ordem derivando
e
novamente:
Derivando em
e
:
Derivando
Derivando
em
:
Passo 4
Por fim, para as derivadas de terceira ordem derivamos as segundas novamente:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
z_{xx}=6xy-4y^2, z_{xy}=3x^2-8xy+5, z_{yy}=-4x^2.
As derivadas parciais de terceira ordem são:
z_{xxx}=6y, z_{xxy}=6x-8y, z_{xyy}=-8x, z_{yyy}=0.
z_{xx}=6xy-4y^2, z_{xy}=3x^2-8xy+5, z_{yy}=-4x^2.
As derivadas parciais de terceira ordem são:
z_{xxx}=6y, z_{xxy}=6x-8y, z_{xyy}=-8x, z_{yyy}=0.