Descreva na forma de uma integral tripla a massa de uma bola B dada por x^2+y^2+z^2 <= a^2 considerando que a densidade em qualquer ponto é proporcional a sua distância ao eixo z.
(Dica: Conforme exemplo visto em sala de aula, a massa é m=integral triplaB rho(x, y, z) d V, sendo que rho(x, y, z)=k raizx^2+y^2 devido a proporcionalidade. Um detalhe aqui é obter a massa m da semi-esfera e multiplicá-la por 2. A região da semi-esfera é E=(r, theta, z) mid 0 <= theta <= 2 pi, 0 <= r <= a, 0 <= z <= raiza^2-r^2. A resposta fica m=2 integral0^2 pi integral0^a integral0^raiza^2-r^2 k r^2 d z d r d theta. O cálculo da integral tripla implica em fazer uma mudança de variável na forma trigonométrica, e a massa m seria (a^4 k pi^2) / 4. Verifique essa última resposta que obtém a massa m usando algum software computacional.)

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma bola B definida por x^2+y^2+z^2<= a^2, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo z. O conteúdo principal é integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando m=integral triplaBrho(x,y,z),dV e rho(x,y,z)=kraizx^2+y^2.

Passo 2

Por simetria em relação ao plano z=0, podemos calcular a massa da semi-esfera superior e depois multiplicar por 2 para obter a massa total da bola.
Passamos para coordenadas cilíndricas, onde x=rcostheta, y=rsintheta e dV=r,dr,dtheta,dz. A densidade fica rho=kraizx^2+y^2=k,r.

Passo 3

A região da semi-esfera superior em cilíndricas é dada por
0<=theta<=2pi, 0<= r<= a, 0<= z<=raiza^2-r^2

Passo 4

O integral da semi-esfera fica
integral0^2piintegral0^aintegral0^raiza^2-r^2k,rcdot r,dz,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^aintegral0^raiza^2-r^2k,r^2,dz,dr,dtheta

Passo 5

Multiplicando por 2 para recuperar a massa da bola completa, obtemos a integral tripla desejada.

Resposta

m=2integral0^2piintegral0^aintegral0^raiza^2-r^2k,r^2,dz,dr,dtheta

Exercícios relacionados