Descreva na forma de uma integral tripla a massa de uma bola
dada por
considerando que a densidade em qualquer ponto é proporcional a sua distância ao eixo
.
(Dica: Conforme exemplo visto em sala de aula, a massa é
, sendo que
devido a proporcionalidade. Um detalhe aqui é obter a massa
da semi-esfera e multiplicá-la por 2. A região da semi-esfera é
. A resposta fica
. O cálculo da integral tripla implica em fazer uma mudança de variável na forma trigonométrica, e a massa
seria
. Verifique essa última resposta que obtém a massa
usando algum software computacional.)
(Dica: Conforme exemplo visto em sala de aula, a massa é
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma bola B definida por
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo
. O conteúdo principal é integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando
e
.
Passo 2
Por simetria em relação ao plano
, podemos calcular a massa da semi-esfera superior e depois multiplicar por 2 para obter a massa total da bola.
Passamos para coordenadas cilíndricas, onde ,
e
. A densidade fica
.
Passamos para coordenadas cilíndricas, onde
Passo 3
A região da semi-esfera superior em cilíndricas é dada por
Passo 4
O integral da semi-esfera fica
Passo 5
Multiplicando por 2 para recuperar a massa da bola completa, obtemos a integral tripla desejada.