Utilizando coordenadas esféricas, calcule integral triplaB x^2+y^2 d V, sendo que B é a região hemisférica que está acima do plano x y e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1.
(Dica: A região é B=(rho, theta, phi) mid 0 <= theta <= 2 pi, 0 <= rho <= 1,0 <= phi <= pi / 2. Note que estamos analisando somente o semiplano superior. O cálculo é feito diretamente usando os limites de integração da região B e novamente notando a fórmula para integrais triplas via coordenadas esféricas. As integrais podem ser resolvidas separadamente, e a integral em função de phi é integral0^pi / 2 sen^3(phi) d phi. A resposta é 4 pi / 15.)

Passo 1

O exercício pede para calcular integral triplaB (x^2 + y^2),dV, onde B é o hemisfério unitário acima do plano xy. O tema aqui é mudança para coordenadas esféricas, lembrando que vamos precisar da expressão de x,y em função de rho,theta,phi e do fator de escala (jacobiano).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Logo
x^2+y^2=rho^2sin^2phi
e o integrando fica
(x^2+y^2),dV = rho^2sin^2phi cdot rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta = rho^4sin^3phi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

O domínio B em esféricas é dado por
0<=theta<=2pi, 0<=rho<=1, 0<=phi<=pi2
Então montamos a integral:
integral triplaB (x^2+y^2),dV = integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^1 rho^4sin^3phi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Como a integral separa, temos:
integral0^2pidtheta ;cdot; integral0^1rho^4,drho ;cdot; integral0^pi/2sin^3phi,dphi
Calculemos cada parte:
  • integral0^2pidtheta = 2pi
  • integral0^1rho^4,drho = l[rho^5/5r]0^1 = 1/5
  • Para integral0^pi/2sin^3phi,dphi, usamos o fato de que sin^3phi=sinphi(1-cos^2phi) e faz-se substituição ou formula pronta, resultando em 2/3.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
2pi times 15 times 23 = 4pi15
Portanto, o valor da integral é 4pi/15.

Resposta

4pi/15

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