Utilizando coordenadas esféricas, calcule
, sendo que
é a região hemisférica que está acima do plano
e abaixo da esfera
.
(Dica: A região é
. Note que estamos analisando somente o semiplano superior. O cálculo é feito diretamente usando os limites de integração da região
e novamente notando a fórmula para integrais triplas via coordenadas esféricas. As integrais podem ser resolvidas separadamente, e a integral em função de
é
. A resposta é
.)
(Dica: A região é
Passo 1
O exercício pede para calcular
, onde
é o hemisfério unitário acima do plano
. O tema aqui é mudança para coordenadas esféricas, lembrando que vamos precisar da expressão de
em função de
e do fator de escala (jacobiano).
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as relações
e o elemento de volume
Logo
e o integrando fica
Passo 3
O domínio
em esféricas é dado por
Então montamos a integral:
Passo 4
Como a integral separa, temos:
Calculemos cada parte:
-
-
- Para
, usamos o fato de que e faz-se substituição ou formula pronta, resultando em .
Passo 5
Multiplicando os resultados:
Portanto, o valor da integral é
.