Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo da matéria é derivadas parciais de ordem superior de uma função composta. Vamos usar a regra da cadeia várias vezes.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Definindo
, temos
De forma análoga,
Passo 3
Em seguida, obtemos as derivadas parciais de segunda ordem diferenciando de novo. Por exemplo,
$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\sin(x+y+z)\bigr)=-\cos(x+y+z)\cdot1=-\cos(x+y+z).
$$
Como todas as variáveis aparecem simetricamente, todas as derivadas de segunda ordem puras e mistas são iguais a .
Como todas as variáveis aparecem simetricamente, todas as derivadas de segunda ordem puras e mistas são iguais a
Passo 4
Por fim, para as derivadas parciais de terceira ordem, derivamos mais uma vez. Tomando novamente a derivada de
, obtemos
$$\frac{\partial^3 w}{\partial x^3}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\cos(x+y+z)\bigr)=\sin(x+y+z)\cdot1=\sin(x+y+z).
$$
E, pela simetria, todas as derivadas de terceira ordem puras e mistas valem .
E, pela simetria, todas as derivadas de terceira ordem puras e mistas valem
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
As derivadas parciais de terceira ordem são: