Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: w=cos (x+y+z)

Passo 1

Temos a função w(x,y,z)=cos(x+y+z). O conteúdo da matéria é derivadas parciais de ordem superior de uma função composta. Vamos usar a regra da cadeia várias vezes.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Definindo u=x+y+z, temos
partial wpartial x= -sin(u)cdotpartial upartial x=-sin(x+y+z)
De forma análoga,
partial wpartial y=-sin(x+y+z) e partial wpartial z=-sin(x+y+z).

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas parciais de segunda ordem diferenciando de novo. Por exemplo,
$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\sin(x+y+z)\bigr)=-\cos(x+y+z)\cdot1=-\cos(x+y+z).
$$
Como todas as variáveis aparecem simetricamente, todas as derivadas de segunda ordem puras e mistas são iguais a partial^2 wpartial x^2=partialpartial xl(-sin(x+y+z)r)=-cos(x+y+z)cdot1=-cos(x+y+z) .

Passo 4

Por fim, para as derivadas parciais de terceira ordem, derivamos mais uma vez. Tomando novamente a derivada de -cos(x+y+z), obtemos
$$\frac{\partial^3 w}{\partial x^3}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\cos(x+y+z)\bigr)=\sin(x+y+z)\cdot1=\sin(x+y+z).
$$
E, pela simetria, todas as derivadas de terceira ordem puras e mistas valem partial^3 wpartial x^3=partialpartial xl(-cos(x+y+z)r)=sin(x+y+z)cdot1=sin(x+y+z) .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
partial^2 wpartial x^2=partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial x partial z=partial^2 wpartial y^2=partial^2 wpartial y partial z=partial^2 wpartial z^2=-cos(x+y+z)
As derivadas parciais de terceira ordem são:
partial^3 wpartial x^3=partial^3 wpartial x^2 partial y=partial^3 wpartial x^2 partial z=partial^3 wpartial x partial y^2=partial^3 wpartial x partial y partial z=partial^3 wpartial x partial z^2=partial^3 wpartial y^3=partial^3 wpartial y^2 partial z=partial^3 wpartial y partial z^2=partial^3 wpartial z^3=sin(x+y+z)

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