Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) no ponto P se: z=sen(x y), P=(1, pi, 0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função z=sin(xy) no ponto P=(1,pi,0). Vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais usando a regra da cadeia:
fx(x,y)=partialpartial xsin(xy)=ycos(xy),
fy(x,y)=partialpartial ysin(xy)=xcos(xy)

Passo 3

Agora avaliamos em (1,pi): como cos(1cdotpi)=cospi=-1, temos
fx(1,pi)=picdot(-1)=-pi,
fy(1,pi)=1cdot(-1)=-1

Passo 4

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z=z0+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)

Passo 5

Substituindo x0=1, y0=pi, z0=0, fx=-pi e fy=-1, obtemos:
z=-pi(x-1)-(y-pi)

Resposta

z=-pi(x-1)-(y-pi)

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