Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n3^2 n-1(x-1)^2 n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências centrada em 1 dada por
sumn=0^infty n3^2n-1(x-1)^2n
Conteúdo: encontrar o raio e intervalo de convergência de séries de potências usando o Critério da Razão.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série: un=n3^2n-1(x-1)^2n. Para testar a convergência, vamos usar o Critério da Razão de Cauchy, que afirma que se
L=limntoinfty|un+1un|
existe e L<1, então a série converge.

Passo 3

Calculamos a razão:
un+1un=n+13^2(n+1)-1|x-1|^2(n+1)n3^2n-1|x-1|^2n=n+1ncdot3^-2cdot|x-1|^2
Tomando o limite quando ntoinfty obtemos
L=|x-1|^29

Passo 4

A condição de convergência L<1 implica
|x-1|^2<9
ou seja
|x-1|<3
Isso define o raio de convergência R=3 e o intervalo aberto (-2,4).

Passo 5

Verificando os extremos: para x=1pm3 temos |x-1|=3, e o termo geral vira un=3n, que não tende a zero, logo a série diverge nos extremos.

Resposta

(-2,4)

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