Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: w=x^2 y^3 z^4

Passo 1

Enunciado: calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função w = x^2y^3z^4. O conteúdo é derivadas parciais em funções de várias variáveis, aplicando a regra do poder e tratando as demais variáveis como constantes.

Passo 2

Lembrando que, ao derivar em relação a uma variável, as outras são constantes, e que ddx(x^n) = nx^n-1. Vamos usar isso em cada derivada.

Passo 3

Calcular as derivadas de primeira ordem:
wx = partial wpartial x = 2x y^3 z^4
wy = partial wpartial y = 3x^2 y^2 z^4
wz = partial wpartial z = 4x^2 y^3 z^3.

Passo 4

Calcular as derivadas de segunda ordem:
wxx = 2y^3z^4,
wxy = 6x y^2z^4,
wxz = 8x y^3z^3,
wyy = 6x^2y z^4,
wyz = 12x^2y^2z^3,
wzz = 12x^2y^3z^2.

Passo 5

Calcular as derivadas de terceira ordem:
wxxx = 0,
wxxy = 6y^2z^4,
wxxz = 8y^3z^3,
wxyy = 12x y z^4,
wxyz = 24x y^2z^3,
wxzz = 24x y^3z^2,
wyyy = 6x^2z^4,
wyyz = 24x^2y z^3,
wyzz = 36x^2y^2z^2,
wzzz = 24x^2y^3z.

Resposta

As derivadas de segunda ordem são:
wxx = 2y^3z^4, wxy = 6x y^2z^4, wxz = 8x y^3z^3, wyy = 6x^2y z^4, wyz = 12x^2y^2z^3, wzz = 12x^2y^3z^2
As derivadas de terceira ordem são:
wxxx = 0, wxxy = 6y^2z^4, wxxz = 8y^3z^3, wxyy = 12x y z^4, wxyz = 24x y^2z^3, wxzz = 24x y^3z^2, wyyy = 6x^2z^4, wyyz = 24x^2y z^3, wyzz = 36x^2y^2z^2, wzzz = 24x^2y^3z

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