(Valor: 0,5)
Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com um dado volume, sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Resolva de dois modos, sendo um deles pelo método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com um dado volume, sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Resolva de dois modos, sendo um deles pelo método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa, com um volume fixo, usando a menor quantidade de material possível. Isso significa que precisamos minimizar a área da superfície da caixa, mantendo o volume constante. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente otimização, e vamos fazer duas resoluções: uma usando derivadas e outra usando os multiplicadores de Lagrange.
Resolução 1: Método das Derivadas
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento da caixa de $ x $, a largura de $ y $ e a altura de $ h $. O volume $ V $ é dado por:
Como o volume é fixo, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para $ h $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a área da superfície da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área total $ A $ é:
Substituindo $ h $ pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Passo 4
Para minimizar a área, vamos derivar a função $ A $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualar a zero. Assumindo que $ x = y $ para simetria (o que geralmente minimiza a área), temos:
Derivando em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Como $ x = y $, temos:
E para $ h $:
Resolução 2: Método dos Multiplicadores de Lagrange
Passo 5
Agora, vamos resolver usando os multiplicadores de Lagrange. A ideia aqui é otimizar a função objetivo $ A $ sujeita à restrição do volume $ V $.
Passo 6
Definimos as funções:
Passo 7
Formamos o sistema de equações com os multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá:
Passo 8
Resolvendo as equações, percebemos que $ x = y $ pela simetria. Substituindo e simplificando, chegamos novamente a:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado são: