(Valor: 0,5)
Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com um dado volume, sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Resolva de dois modos, sendo um deles pelo método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa, com um volume fixo, usando a menor quantidade de material possível. Isso significa que precisamos minimizar a área da superfície da caixa, mantendo o volume constante. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente otimização, e vamos fazer duas resoluções: uma usando derivadas e outra usando os multiplicadores de Lagrange.

Resolução 1: Método das Derivadas

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento da caixa de $ x $, a largura de $ y $ e a altura de $ h $. O volume $ V $ é dado por:
x
Como o volume é fixo, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para $ h $:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área da superfície da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área total $ A $ é:
A
Substituindo $ h $ pela expressão que encontramos:
A = x cdot y + 2x cdot h + 2y cdot h
Simplificando:
h

Passo 4

Para minimizar a área, vamos derivar a função $ A $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualar a zero. Assumindo que $ x = y $ para simetria (o que geralmente minimiza a área), temos:
A
Derivando em relação a $ x $:
x
Igualando a zero:
y
Como $ x = y $, temos:
x = y
E para $ h $:
A = x^2 + 4Vx

Resolução 2: Método dos Multiplicadores de Lagrange

Passo 5

Agora, vamos resolver usando os multiplicadores de Lagrange. A ideia aqui é otimizar a função objetivo $ A $ sujeita à restrição do volume $ V $.

Passo 6

Definimos as funções:
f(x, y, h) = x cdot y + 2x cdot h + 2y cdot h (Área total) Á
g(x, y, h) = x cdot y cdot h - V = 0 (Restrição do volume) çã

Passo 7

Formamos o sistema de equações com os multiplicadores de Lagrange:
nabla f = lambda nabla g
Isso nos dá:
y + 2h = lambda y h x + 2h = lambda x h 2x + 2y = lambda x y x cdot y cdot h = V

Passo 8

Resolvendo as equações, percebemos que $ x = y $ pela simetria. Substituindo e simplificando, chegamos novamente a:
x = y

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado são:
x = y = raiz[3]2V, h = 2^-2/3 raiz[3]V

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