Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: z=e^x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede pra calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de z = e^x^2+y^2. O conteúdo aqui é derivadas parciais e vamos precisar usar a regra da cadeia repetidas vezes.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem aplicando a regra da cadeia: cada vez que derivamos e^u em relação a x ou y, multiplicamos por u'. Assim,
zx = 2x ,e^x^2+y^2
zy = 2y ,e^x^2+y^2

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez para obter as derivadas de segunda ordem em relação às mesmas variáveis (as puras) usando produto e regra da cadeia:
zxx = (2 + 4x^2),e^x^2+y^2,
zyy = (2 + 4y^2),e^x^2+y^2

Passo 4

Para a derivada mista de segunda ordem, derivamos zx = 2x e^x^2+y^2 em relação a y:
zxy = 4xy ,e^x^2+y^2

Passo 5

Passando para as derivadas de terceira ordem puras, derivamos zxx em relação a x e zyy em relação a y:
zxxx = (12x + 8x^3),e^x^2+y^2,
zyyy = (12y + 8y^3),e^x^2+y^2

Passo 6

Por fim, as derivadas de terceira ordem mistas envolvem derivar zxx em relação a y e zyy em relação a x:
zxxy = (4y + 8x^2y),e^x^2+y^2,
zxyy = (4x + 8xy^2),e^x^2+y^2

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
zxx = (2 + 4x^2),e^x^2+y^2, zyy = (2 + 4y^2),e^x^2+y^2, zxy = 4xy,e^x^2+y^2
As derivadas parciais de terceira ordem são:
zxxx = (12x + 8x^3),e^x^2+y^2, zxxy = (4y + 8x^2y),e^x^2+y^2,
zxyy = (4x + 8xy^2),e^x^2+y^2, zyyy = (12y + 8y^3),e^x^2+y^2

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