Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
O enunciado pede pra calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de
. O conteúdo aqui é derivadas parciais e vamos precisar usar a regra da cadeia repetidas vezes.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem aplicando a regra da cadeia: cada vez que derivamos
em relação a
ou
, multiplicamos por
. Assim,
Passo 3
Agora derivamos mais uma vez para obter as derivadas de segunda ordem em relação às mesmas variáveis (as puras) usando produto e regra da cadeia:
Passo 4
Para a derivada mista de segunda ordem, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Passando para as derivadas de terceira ordem puras, derivamos
em relação a
e
em relação a
:
Passo 6
Por fim, as derivadas de terceira ordem mistas envolvem derivar
em relação a
e
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
As derivadas parciais de terceira ordem são: