Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule d zd t e d wd t : z=x^2 cos (y)-x, x=t^2, y=1t

Passo 1

O enunciado apresenta a função z em termos de x e y, com x e y definidos em função de t. O objetivo é utilizar a regra da cadeia para encontrar dz/dt e, posteriormente, aplicar a versão estendida dessa regra para w(x,y,z) a fim de obter dw/dt.

Passo 2

Inicialmente, calculamos as derivadas parciais de z(x,y) = x^2*cos(y) - x, ou seja, ∂z/∂x e ∂z/∂y.
Em seguida, derivamos x = t^2 e y = 1/t em relação a t para determinar dx/dt e dy/dt.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para z: dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt).
Substituímos x = t^2, y = 1/t, dx/dt = 2t e dy/dt = -1/t^2 na expressão de dz/dt e simplificamos.

Passo 4

Para w(x,y,z), empregamos a regra da cadeia estendida: dw/dt = (∂w/∂x)(dx/dt) + (∂w/∂y)(dy/dt) + (∂w/∂z)*(dz/dt).
Por fim, substituímos dx/dt, dy/dt e a expressão obtida para dz/dt em dw/dt e simplificamos o resultado, que estará em termos de t e das derivadas parciais de w.

Resposta

dzdt = 4t^3 cosl(1/tr) - 2t + t^2 sinl(1/tr)
dwdt = partial wpartial x,2t + partial wpartial y(-1t^2) + partial wpartial zl(4t^3 cosl(1/tr) - 2t + t^2 sinl(1/tr)r)

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