integral x^3 d xraiz1-x^2

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral integral x^3raiz1-x^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois há raiz1-x^2 no denominador e um x no numerador que sugere usar u=1-x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição u=1-x^2, obtemos du=-2x,dx, ou seja x,dx=-tfrac12,du. Além disso, note que x^2=1-u.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e usando x,dx=-tfrac12,du, temos
integral x^3raiz1-x^2,dx = integral x,(1-u)raizu,dx = -tfrac12integral(1-u),u^-1/2,du

Passo 4

Expandindo o integrando e integrando em u:
-tfrac12integrall(u^-1/2-u^1/2r),du = -tfrac12l(2u^1/2-tfrac23u^3/2r)+C = -u^1/2+tfrac13u^3/2+C

Passo 5

Por fim, substituímos de volta u=1-x^2 na expressão -u^1/2+tfrac13u^3/2+C, obtendo a primitiva desejada em x.

Resposta

[\n-(1-x2){1/2} + \frac{1}{3}(1-x2){3/2} + C\n]

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