Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: f(x, y, z)=x y^3+cos (pi z),(1,3,1).

Passo 1

Neste exercício a gente quer linearizar a função f(x,y,z)=x y^3 + cos(pi z) em torno do ponto (1,3,1). O conteúdo é aproximação linear de funções de várias variáveis. Para isso, precisamos calcular f(1,3,1) e o gradiente nabla f em (1,3,1), e depois usar a fórmula de linearização:
L(x,y,z)=f(1,3,1)+nabla f(1,3,1)cdotl((x,y,z)-(1,3,1)r)

Passo 2

Vamos calcular o valor de f no ponto (1,3,1). Temos:
f(1,3,1)=1cdot 3^3 + cos(picdot1)=27 + cos(pi)=27 -1 =26

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas parciais de f. Calculamos:
fx(x,y,z)=y^3, fy(x,y,z)=3x y^2, fz(x,y,z)=-pi sin(pi z)

Passo 4

Em seguida, avaliamos as derivadas parciais no ponto (1,3,1). Ficamos com:
fx(1,3,1)=3^3=27, fy(1,3,1)=3cdot1cdot3^2=27, fz(1,3,1)=-pisin(pi)=0

Passo 5

Por fim, montamos a aproximação linear usando a fórmula:
L(x,y,z)=26 + 27,(x-1) + 27,(y-3) + 0,(z-1)
Isso pode ser simplificado para L(x,y,z)=26 + 27(x-1) + 27(y-3).

Resposta

L(x,y,z)=26 + 27(x-1) + 27(y-3)

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