Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem:
f(x, y, z)=\cos \left(x^{2}+2 y\right)-e^{4 x-z^{4} y}+y^{3}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=\cos\left(x^{2}+2y\right)-e^{4x-z^{4}y}+y^{3}
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z),
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z),
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z).
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma de três termos: \cos\left(x^{2}+2y\right), -e^{4x-z^{4}y} e y^{3}.
  • Ao calcular derivada parcial em relação a uma variável, as outras duas são tratadas como constantes.

Passo 2

Definição e ideia prática de derivada parcial (útil para a prova).
A derivada parcial de f em relação a x é, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática, para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} basta diferenciar cada termo da função considerando y e z constantes. O mesmo vale para as derivadas em relação a y e z, cada vez mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Derivada de \cos(u) em relação à variável t: \dfrac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)\cdot \dfrac{du}{dt}. Aqui u é uma função de t (regra da cadeia).
  • Derivada de e^{u}: \dfrac{d}{dt}e^{u}=e^{u}\cdot \dfrac{du}{dt}.
  • Derivada de y^{3} em relação a y é 3y^{2}; em relação a x ou z é zero (porque y é tratado como constante nesses casos).
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x; derivada de z^{4}y em relação a z é 4z^{3}y (pois y é constante quando diferenciamos em relação a z).
Exemplo rápido (para fixar): \dfrac{d}{dx}\cos(x^{2})=-\sin(x^{2})\cdot 2x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Termo a termo:
  1. Para \cos\left(x^{2}+2y\right): tome u(x)=x^{2}+2y. Como y é constante ao derivar em x, tem-se \dfrac{du}{dx}=2x. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\cos\left(x^{2}+2y\right)=-\sin\left(x^{2}+2y\right)\cdot 2x=-2x\sin\left(x^{2}+2y\right).
  1. Para -e^{4x-z^{4}y}: seja v(x)=4x-z^{4}y. Ao derivar em x, z^{4}y é constante, então \dfrac{dv}{dx}=4. Aplicando a regra:
\frac{\partial}{\partial x}\left(-e^{4x-z^{4}y}\right)=-e^{4x-z^{4}y}\cdot 4=-4e^{4x-z^{4}y}.
  1. Para y^{3}: como y é constante ao derivar em x, \dfrac{\partial}{\partial x}y^{3}=0.
Somando os termos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=-2x\sin\left(x^{2}+2y\right)-4e^{4x-z^{4}y}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Termo a termo:
  1. Para \cos\left(x^{2}+2y\right): agora u(y)=x^{2}+2y e \dfrac{du}{dy}=2. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\cos\left(x^{2}+2y\right)=-\sin\left(x^{2}+2y\right)\cdot 2=-2\sin\left(x^{2}+2y\right).
  1. Para -e^{4x-z^{4}y}: agora v(y)=4x-z^{4}y e \dfrac{dv}{dy}=-z^{4} (pois 4x é constante em relação a y). Assim
\frac{\partial}{\partial y}\left(-e^{4x-z^{4}y}\right)=-e^{4x-z^{4}y}\cdot (-z^{4})=z^{4}e^{4x-z^{4}y}.
  1. Para y^{3}: \dfrac{\partial}{\partial y}y^{3}=3y^{2}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=-2\sin\left(x^{2}+2y\right)+z^{4}e^{4x-z^{4}y}+3y^{2}.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Termo a termo:
  1. \cos\left(x^{2}+2y\right) não contém z, logo sua derivada parcial em relação a z é 0.
  2. Para -e^{4x-z^{4}y}: agora v(z)=4x-z^{4}y. Ao derivar em z, 4x é constante e \dfrac{dv}{dz}=-4z^{3}y (derivada de -z^{4}y é -4z^{3}y). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}\left(-e^{4x-z^{4}y}\right)=-e^{4x-z^{4}y}\cdot (-4z^{3}y)=4y z^{3} e^{4x-z^{4}y}.
  1. y^{3} não depende de z, então \dfrac{\partial}{\partial z}y^{3}=0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=4y z^{3} e^{4x-z^{4}y}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=-2x\sin\left(x^{2}+2y\right)-4e^{4x-z^{4}y}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=-2\sin\left(x^{2}+2y\right)+z^{4}e^{4x-z^{4}y}+3y^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=4y z^{3} e^{4x-z^{4}y}

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