Calcule as derivadas parciais de
ordem:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
-
, -
, -
.
Informações relevantes dadas:
- A função é soma de três termos:
, e . - Ao calcular derivada parcial em relação a uma variável, as outras duas são tratadas como constantes.
Passo 2
Definição e ideia prática de derivada parcial (útil para a prova).
A derivada parcial de em relação a
é, por definição,
A derivada parcial de
Na prática, para calcular
basta diferenciar cada termo da função considerando
e
constantes. O mesmo vale para as derivadas em relação a
e
, cada vez mantendo as outras variáveis constantes.
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Derivada de
em relação à variável : . Aqui é uma função de (regra da cadeia). - Derivada de
: . - Derivada de
em relação a é ; em relação a ou é zero (porque é tratado como constante nesses casos). - Derivada de
em relação a é ; derivada de em relação a é (pois é constante quando diferenciamos em relação a ).
Exemplo rápido (para fixar):
.
Passo 4
Cálculo de
.
Termo a termo:
- Para
: tome . Como é constante ao derivar em , tem-se . Aplicando a regra da cadeia:
- Para
: seja . Ao derivar em , é constante, então . Aplicando a regra:
- Para
: como é constante ao derivar em , .
Somando os termos:
Passo 5
Cálculo de
.
Termo a termo:
- Para
: agora e . Logo
- Para
: agora e (pois é constante em relação a ). Assim
- Para
: .
Somando:
Passo 6
Cálculo de
.
Termo a termo:
-
não contém , logo sua derivada parcial em relação a é . -
Para
: agora . Ao derivar em , é constante e (derivada de é ). Aplicando a regra da cadeia:
-
não depende de , então .
Somando: