Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem:
f(x, y)=4 y^{3} e^{2 x^{2} y}+\ln \left(\frac{x^{2}+5 x y}{x^{2}+2 y^{2}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=4y^{3}e^{2x^{2}y}+\ln\!\left(\frac{x^{2}+5xy}{x^{2}+2y^{2}}\right)^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a soma de duas parcelas: uma exponencial multiplicada por potência de y e um logaritmo natural de uma razão elevada ao quadrado.
  • As incógnitas são x e y. As derivadas pedidas são as parciais \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}.
  • Não há restrições explícitas sobre x e y no enunciado, mas implicitamente precisamos de denominadores não nulos para as frações que aparecerem (ou seja, x^{2}+5xy\neq0 e x^{2}+2y^{2}\neq0 quando ocorrerem).

Passo 2

Vamos simplificar a parte do logaritmo antes de derivar — isso facilita e evita aplicar cadeia duas vezes desnecessariamente.
Para qualquer função u(x,y) vale
\ln\!\big(u^{2}\big)=2\ln u.
Aqui u=\dfrac{x^{2}+5xy}{x^{2}+2y^{2}}. Assim a segunda parcela pode ser reescrita como
\ln\!\left(\frac{x^{2}+5xy}{x^{2}+2y^{2}}\right)^{2}=2\ln\!\left(\frac{x^{2}+5xy}{x^{2}+2y^{2}}\right).
Ainda usando a propriedade do logaritmo \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B, escrevemos
2\ln\!\left(\frac{x^{2}+5xy}{x^{2}+2y^{2}}\right)=2\big(\ln(x^{2}+5xy)-\ln(x^{2}+2y^{2})\big).
Isso deixa a derivação mais direta: basta derivar \ln de polinômios.

Passo 3

Relembrando regras básicas que vamos usar (completo e devagar):
  • Regra da cadeia (para derivada em relação a x): se F(x)=g(h(x)) então F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g é a função externa e h a interna.
  • Derivada do exponencial: para G(x)=e^{u(x)},
G'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Derivada do logaritmo natural: para H(x)=\ln(u(x)),
H'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada parcial: quando derivamos parcialmente em relação a x, tratamos y como constante; para derivar em relação a y, tratamos x como constante.
    Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Derivada parcial de primeira parcela em relação a x:
g(x,y)=4y^{3}e^{2x^{2}y}.
Aqui y é constante ao derivar em relação a x. Aplicando a regra da cadeia com u(x)=2x^{2}y temos u'(x)=4xy (porque u(x)=2y\cdot x^{2} e a derivada de x^{2} é 2x): assim
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2x^{2}y}\big)=e^{2x^{2}y}\cdot 4xy.
Multiplicando pelo fator 4y^{3} obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{3}e^{2x^{2}y}\big)=4y^{3}\cdot e^{2x^{2}y}\cdot 4xy=16xy^{4}e^{2x^{2}y}.

Passo 5

Derivada parcial da segunda parcela em relação a x:
A segunda parcela já simplificada é
h(x,y)=2\big(\ln(x^{2}+5xy)-\ln(x^{2}+2y^{2})\big).
Vamos derivar termo a termo. Definindo
A(x,y)=x^{2}+5xy,\qquad B(x,y)=x^{2}+2y^{2},
temos, por derivada do logaritmo,
\frac{\partial}{\partial x}\ln A=\frac{\partial_x A}{A},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\ln B=\frac{\partial_x B}{B}.
Calculemos as derivadas parciais das funções internas:
\partial_x A=2x+5y,\qquad \partial_x B=2x.
Portanto
\frac{\partial h}{\partial x}=2\left(\frac{2x+5y}{x^{2}+5xy}-\frac{2x}{x^{2}+2y^{2}}\right).

Passo 6

Somando as contribuições das duas parcelas, a derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}=16xy^{4}e^{2x^{2}y}+2\left(\frac{2x+5y}{x^{2}+5xy}-\frac{2x}{x^{2}+2y^{2}}\right).
Podemos deixar assim — já está numa forma clara e correta para uso em prova.

Passo 7

Agora derivada parcial em relação a y. Novamente tratamos x como constante.
Primeira parcela:
g(x,y)=4y^{3}e^{2x^{2}y}.
Aqui é produto de 4y^{3} por e^{2x^{2}y}. Aplicamos a regra do produto para derivada parcial em y:
se u(y)=4y^{3} e v(y)=e^{2x^{2}y}, então
\partial_y(uv)=u'v+uv'.
Calculamos:
u'(y)=12y^{2}.
Para v, pela regra da cadeia com w(y)=2x^{2}y (onde x é tratado como constante), temos w'(y)=2x^{2}. Então
v'(y)=e^{2x^{2}y}\cdot 2x^{2}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{3}e^{2x^{2}y}\big)=12y^{2}e^{2x^{2}y}+4y^{3}\cdot e^{2x^{2}y}\cdot 2x^{2}.
Somando os termos e fatorando 4y^{2}e^{2x^{2}y} obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{3}e^{2x^{2}y}\big)=4y^{2}e^{2x^{2}y}\big(3+2x^{2}y\big).

Passo 8

Segunda parcela em relação a y:
h(x,y)=2\big(\ln(x^{2}+5xy)-\ln(x^{2}+2y^{2})\big).
Usando a regra do logaritmo:
\frac{\partial}{\partial y}\ln A=\frac{\partial_y A}{A},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\ln B=\frac{\partial_y B}{B}.
Calculamos as derivadas internas:
\partial_y A=5x,\qquad \partial_y B=4y.
Logo
\frac{\partial h}{\partial y}=2\left(\frac{5x}{x^{2}+5xy}-\frac{4y}{x^{2}+2y^{2}}\right).

Passo 9

Somando as contribuições, a derivada parcial de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{2}e^{2x^{2}y}\big(3+2x^{2}y\big)+2\left(\frac{5x}{x^{2}+5xy}-\frac{4y}{x^{2}+2y^{2}}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=16xy^{4}e^{2x^{2}y}+2\left(\frac{2x+5y}{x^{2}+5xy}-\frac{2x}{x^{2}+2y^{2}}\right)\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=4y^{2}e^{2x^{2}y}\big(3+2x^{2}y\big)+2\left(\frac{5x}{x^{2}+5xy}-\frac{4y}{x^{2}+2y^{2}}\right)

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