Calcule as derivadas parciais de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes dadas:
- A função é a soma de duas parcelas: uma exponencial multiplicada por potência de
e um logaritmo natural de uma razão elevada ao quadrado. - As incógnitas são
e . As derivadas pedidas são as parciais e . - Não há restrições explícitas sobre
e no enunciado, mas implicitamente precisamos de denominadores não nulos para as frações que aparecerem (ou seja, e quando ocorrerem).
Passo 2
Vamos simplificar a parte do logaritmo antes de derivar — isso facilita e evita aplicar cadeia duas vezes desnecessariamente.
Para qualquer função
vale
Aqui
. Assim a segunda parcela pode ser reescrita como
Ainda usando a propriedade do logaritmo
, escrevemos
Isso deixa a derivação mais direta: basta derivar
de polinômios.
Passo 3
Relembrando regras básicas que vamos usar (completo e devagar):
- Regra da cadeia (para derivada em relação a
): se então . Aqui é a função externa e a interna. - Derivada do exponencial: para
,
- Derivada do logaritmo natural: para
,
- Derivada parcial: quando derivamos parcialmente em relação a
, tratamos como constante; para derivar em relação a , tratamos como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Derivada parcial de primeira parcela em relação a
:
Aqui
é constante ao derivar em relação a
. Aplicando a regra da cadeia com
temos
(porque
e a derivada de
é
): assim
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 5
Derivada parcial da segunda parcela em relação a
:
A segunda parcela já simplificada é
A segunda parcela já simplificada é
Vamos derivar termo a termo. Definindo
temos, por derivada do logaritmo,
Calculemos as derivadas parciais das funções internas:
Portanto
Passo 6
Somando as contribuições das duas parcelas, a derivada parcial de
em relação a
é
Podemos deixar assim — já está numa forma clara e correta para uso em prova.
Passo 7
Agora derivada parcial em relação a
. Novamente tratamos
como constante.
Primeira parcela:
Aqui é produto de
por
. Aplicamos a regra do produto para derivada parcial em
:
se e
, então
se
Calculamos:
Para
, pela regra da cadeia com
(onde
é tratado como constante), temos
. Então
Portanto
Somando os termos e fatorando
obtemos
Passo 8
Segunda parcela em relação a
:
Usando a regra do logaritmo:
Calculamos as derivadas internas:
Logo
Passo 9
Somando as contribuições, a derivada parcial de
em relação a
é