Calcule as derivadas parciais de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Informações dadas:
- A função é
.
O que se pede: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é derivada parcial? Intuitivamente,
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo; e
mede a taxa de variação quando apenas
varia e
fica fixo. Formalmente, por definição,
Na prática, usamos regras de diferenciação (regra do produto, regra da cadeia, etc.) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Para
é conveniente ver
como produto de duas funções que dependem de
:
A regra do produto para derivadas parciais diz:
Agora calculamos cada termo:
-
: usar regra da cadeia para . A derivada de é . Aqui com . Logo
-
: como e é tratado como constante, temos
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Simplificando
. Fatorando
em comum:
Essa é uma forma mais compacta e útil em provas.
Passo 5
Agora
. Aqui
é tratado como constante, então
é apenas um fator constante em relação a
. Assim:
Como
é constante e
, obtemos
Passo 6
Resumo rápido para decorar e aplicar na prova:
- Use regra do produto quando a função for produto de duas partes que dependem de
e . - Use regra da cadeia para
. - Ao derivar em relação a
deixe constante; ao derivar em relação a deixe constante.
Força aí — você já tem as expressões finais prontas para usar em exercícios ou na prova!