Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem:
f(x, y)=e^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
    O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é derivada parcial? Intuitivamente, \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo; e \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a taxa de variação quando apenas y varia e x fica fixo. Formalmente, por definição,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, usamos regras de diferenciação (regra do produto, regra da cadeia, etc.) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Para \dfrac{\partial f}{\partial x} é conveniente ver f como produto de duas funções que dependem de x:
u(x,y)=e^{x^{2}},\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}, \qquad f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y).
A regra do produto para derivadas parciais diz:
\dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Agora calculamos cada termo:
  • \dfrac{\partial u}{\partial x}: usar regra da cadeia para u(x,y)=e^{x^{2}}. A derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x)=x^{2} com g'(x)=2x. Logo
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}}.
  • \dfrac{\partial v}{\partial x}: como v(x,y)=x^{2}+y^{2} e y é tratado como constante, temos
\dfrac{\partial v}{\partial x}=2x.
Aplicando a regra do produto:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x\,e^{x^{2}})(x^{2}+y^{2})+e^{x^{2}}(2x).

Passo 4

Simplificando \dfrac{\partial f}{\partial x}. Fatorando 2x\,e^{x^{2}} em comum:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+2x\,e^{x^{2}} =2x\,e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr).
Essa é uma forma mais compacta e útil em provas.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Aqui x é tratado como constante, então e^{x^{2}} é apenas um fator constante em relação a y. Assim:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{2}}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Como x^{2} é constante e \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y, obtemos
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{2}}\cdot 2y=2y\,e^{x^{2}}.

Passo 6

Resumo rápido para decorar e aplicar na prova:
  • Use regra do produto quando a função for produto de duas partes que dependem de x e y.
  • Use regra da cadeia para e^{x^{2}}.
  • Ao derivar em relação a x deixe y constante; ao derivar em relação a y deixe x constante.
    Força aí — você já tem as expressões finais prontas para usar em exercícios ou na prova!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{x^{2}}

Exercícios relacionados