Calcule o limite das funções:
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,8)} \frac{\sqrt{2 x+y}-4}{2 x+y-16}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(4,8)} \frac{\sqrt{2x+y}-4}{2x+y-16}.
Informações dadas:
  • A função é a razão entre \sqrt{2x+y}-4 e 2x+y-16.
  • O ponto de aproximação é (x,y)=(4,8).
    As perguntas implícitas: existe o limite quando (x,y)\to(4,8) e, se existir, qual é seu valor?

Passo 2

Verificação do tipo de indeterminação ao substituir diretamente (x,y)=(4,8).
Calcular 2x+y no ponto:
2\cdot4+8=8+8=16.
Então o numerador vale
\sqrt{2\cdot4+8}-4=\sqrt{16}-4=4-4=0,
e o denominador vale
2\cdot4+8-16=16-16=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Precisamos manipular algebricamente para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Observação útil (que simplifica o problema): a função depende apenas da combinação linear 2x+y. Defina a variável auxiliar
t=2x+y.
Quando (x,y)\to(4,8) temos t\to 16. Assim o limite original reduz-se ao limite unidimensional
\lim_{t\to16} \frac{\sqrt{t}-4}{t-16}.
Essa redução é válida porque t é contínuo em (x,y) e o valor da função depende só de t.

Passo 4

Técnica para eliminar a indeterminação: usar o conjugado da raiz. A ideia é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{t}+4 — isso não altera o valor quando t\neq16, e transforma a diferença de raízes em diferença de quadrados (uma identidade algébrica). Aplicando:
\frac{\sqrt{t}-4}{t-16}\cdot\frac{\sqrt{t}+4}{\sqrt{t}+4} =\frac{(\sqrt{t}-4)(\sqrt{t}+4)}{(t-16)(\sqrt{t}+4)}.

Passo 5

Usar a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{t} e b=4:
(\sqrt{t}-4)(\sqrt{t}+4)=t-16.
Substituindo na fração do passo anterior:
\frac{(\sqrt{t}-4)(\sqrt{t}+4)}{(t-16)(\sqrt{t}+4)} =\frac{t-16}{(t-16)(\sqrt{t}+4)}.
Para t\neq16 podemos cancelar o fator t-16, obtendo a forma simplificada
\frac{\sqrt{t}-4}{t-16}=\frac{1}{\sqrt{t}+4}\qquad (t\neq16).

Passo 6

Agora o limite é imediato, pois a expressão à direita é contínua em t=16. Tomando t\to16:
\lim_{t\to16}\frac{1}{\sqrt{t}+4}=\frac{1}{\sqrt{16}+4}=\frac{1}{4+4}=\frac{1}{8}.

Passo 7

Interpretação final: havia uma singularidade removível em t=16 (ou seja, em (x,y)=(4,8)) — após simplificar, a função estende-se de forma contínua naquele ponto e o limite existe e vale \dfrac{1}{8}.
Dica extra rápida: isso equivale também ao valor do quociente diferencial
\lim_{t\to16}\frac{\sqrt{t}-\sqrt{16}}{t-16}=\frac{1}{2\sqrt{16}}=\frac{1}{8},
que é a derivada de \sqrt{t} em t=16; a técnica do conjugado é a maneira algébrica preferida em provas sem cálculo avançado.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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