Calcule o limite das funções:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função é a razão entre
e . - O ponto de aproximação é
.
As perguntas implícitas: existe o limite quandoe, se existir, qual é seu valor?
Passo 2
Verificação do tipo de indeterminação ao substituir diretamente
.
Calcular no ponto:
Calcular
Então o numerador vale
e o denominador vale
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Precisamos manipular algebricamente para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Observação útil (que simplifica o problema): a função depende apenas da combinação linear
. Defina a variável auxiliar
Quando
temos
. Assim o limite original reduz-se ao limite unidimensional
Essa redução é válida porque
é contínuo em
e o valor da função depende só de
.
Passo 4
Técnica para eliminar a indeterminação: usar o conjugado da raiz. A ideia é multiplicar numerador e denominador por
— isso não altera o valor quando
, e transforma a diferença de raízes em diferença de quadrados (uma identidade algébrica). Aplicando:
Passo 5
Usar a identidade
com
e
:
Substituindo na fração do passo anterior:
Para
podemos cancelar o fator
, obtendo a forma simplificada
Passo 6
Agora o limite é imediato, pois a expressão à direita é contínua em
. Tomando
:
Passo 7
Interpretação final: havia uma singularidade removível em
(ou seja, em
) — após simplificar, a função estende-se de forma contínua naquele ponto e o limite existe e vale
.
Dica extra rápida: isso equivale também ao valor do quociente diferencial
Dica extra rápida: isso equivale também ao valor do quociente diferencial
que é a derivada de
em
; a técnica do conjugado é a maneira algébrica preferida em provas sem cálculo avançado.