Calcule o limite das funções:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é a razão entre duas expressões polinomiais em
e : o numerador é e o denominador é . - O ponto de interesse é
. - É importante verificar se o denominador se anula no ponto, porque isso muda completamente a forma de agir sobre o limite.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado de forma simples): polinômios são funções contínuas. Isso significa que, para uma função polinomial
,
Além disso, existe uma regra de limites para quocientes: se
e
têm limite em
e
, então
Em linguagem de prova: como os polinômios são contínuos, podemos simplesmente avaliar numerador e denominador no ponto; desde que o denominador não seja zero, o limite do quociente é o quociente dos limites.
Passo 3
Aplicando a ideia acima ao numerador
: como é polinomial, seu limite ao aproximar
de
é o próprio valor em
,
Passo 4
Agora o denominador
é também polinomial, logo seu limite é o valor em
. Calculando:
Observe que esse limite é diferente de zero (
), portanto a condição para aplicar a regra do quociente está satisfeita.
Passo 5
Usando a regra do quociente com os resultados dos passos anteriores, obtemos
Intuição rápida: o numerador tende a zero enquanto o denominador tende a um número não nulo; portanto a razão tende a zero.