Calcule o limite das funções:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \frac{x-y}{x^{4}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando (x,y) tende a (2,2) da função
\frac{x-y}{x^{4}-y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a razão entre duas expressões polinomiais em x e y: o numerador é x-y e o denominador é x^{4}-y^{2}.
  • O ponto de interesse é (2,2).
  • É importante verificar se o denominador se anula no ponto, porque isso muda completamente a forma de agir sobre o limite.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado de forma simples): polinômios são funções contínuas. Isso significa que, para uma função polinomial p(x,y),
\lim_{(x,y)\to(a,b)} p(x,y) = p(a,b).
Além disso, existe uma regra de limites para quocientes: se f e g têm limite em (a,b) e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)}{\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)}.
Em linguagem de prova: como os polinômios são contínuos, podemos simplesmente avaliar numerador e denominador no ponto; desde que o denominador não seja zero, o limite do quociente é o quociente dos limites.

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao numerador f(x,y)=x-y: como é polinomial, seu limite ao aproximar (x,y) de (2,2) é o próprio valor em (2,2),
\lim_{(x,y)\to(2,2)} (x-y) = 2-2 = 0.

Passo 4

Agora o denominador g(x,y)=x^{4}-y^{2} é também polinomial, logo seu limite é o valor em (2,2). Calculando:
\lim_{(x,y)\to(2,2)} (x^{4}-y^{2}) = 2^{4} - 2^{2} = 16 - 4 = 12.
Observe que esse limite é diferente de zero ( 12\neq 0), portanto a condição para aplicar a regra do quociente está satisfeita.

Passo 5

Usando a regra do quociente com os resultados dos passos anteriores, obtemos
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x-y}{x^{4}-y^{2}} = \frac{0}{12} = 0.
Intuição rápida: o numerador tende a zero enquanto o denominador tende a um número não nulo; portanto a razão tende a zero.

Resposta

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