Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem das funções abaixo:
z=(x+y) e^{x+2 y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z=(x+y)e^{x+2y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é z(x,y)=(x+y)e^{x+2y}.
  • As incógnitas são x e y.
  • Devemos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de z em relação a x, escrita \dfrac{\partial z}{\partial x}, significa: derivar a função tratando y como uma constante (ou seja, só observamos como z muda quando x varia). Analogamente, \dfrac{\partial z}{\partial y} deriva tratando x como constante. Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Estratégia prática (explicação das regras que vou usar):
  • Produto de funções: se z=u(x,y)\cdot v(x,y), então a derivada parcial segue a regra do produto
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x},
e análogo para \partial/\partial y. Aqui vou decompor z em u(x,y)=x+y e v(x,y)=e^{x+2y}.
  • Derivada de exponencial composta (regra da cadeia): se v(x,y)=e^{g(x,y)} então
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},
pois a derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada do “algo”.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais das partes u e v em relação a x:
  • u(x,y)=x+y. Como y é considerado constante ao derivar em x,
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
  • v(x,y)=e^{x+2y}. A função interna é g(x,y)=x+2y. Logo, aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot 1 = e^{x+2y}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto para obter \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo os valores calculados:
\frac{\partial z}{\partial x}=1\cdot e^{x+2y}+(x+y)\cdot e^{x+2y}.
Fatorando e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial x}=(1+x+y)\,e^{x+2y}.

Passo 6

Agora calculemos as derivadas parciais das partes u e v em relação a y:
  • Para u(x,y)=x+y, derivando em y com x constante,
\frac{\partial u}{\partial y}=1.
  • Para v(x,y)=e^{x+2y}, usando g(x,y)=x+2y,
\frac{\partial v}{\partial y}=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot 2 = 2e^{x+2y}.

Passo 7

Aplicamos a regra do produto para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial y}=1\cdot e^{x+2y}+(x+y)\cdot 2e^{x+2y}.
Fatorando e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=\bigl(1+2(x+y)\bigr)\,e^{x+2y}=\bigl(1+2x+2y\bigr)\,e^{x+2y}.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=(1+x+y)\,e^{x+2y}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=(1+2x+2y)\,e^{x+2y}

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