Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - As incógnitas são
e . - Devemos calcular
e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
, escrita
, significa: derivar a função tratando
como uma constante (ou seja, só observamos como
muda quando
varia). Analogamente,
deriva tratando
como constante. Vou aplicar essas ideias passo a passo.
A derivada parcial de
Passo 3
Estratégia prática (explicação das regras que vou usar):
- Produto de funções: se
, então a derivada parcial segue a regra do produto
e análogo para
. Aqui vou decompor
em
e
.
- Derivada de exponencial composta (regra da cadeia): se
então
pois a derivada de
é
vezes a derivada do “algo”.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais das partes
e
em relação a
:
-
. Como é considerado constante ao derivar em ,
-
. A função interna é . Logo, aplicando a regra da cadeia,
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto para obter
:
Substituindo os valores calculados:
Fatorando
:
Passo 6
Agora calculemos as derivadas parciais das partes
e
em relação a
:
- Para
, derivando em com constante,
- Para
, usando ,
Passo 7
Aplicamos a regra do produto para
:
Substituindo:
Fatorando
: